Mostre que se A^{T} A=A, então A é simétrica e A=A^{2}.
21. Suponha que A é uma matriz quadrada e que D é uma matriz diagonal tal que A D=I. O que se pode afirmar sobre a matriz A ? Justifique.
22. Considere a matriz A=\left[\begin{array}{cccc}a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\\\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\\ 0 & 0 & \cdots & a_{n n}\end{array}\right], onde a_{11} a_{22} \ldots a_{n n} \neq 0. Determine A^{-1}, a inversa de A, se existir.
23. Prove que se A é inversível e A B=A C, então B=C.
24. É possível ter A B=I e B não ser inversa de A ? Justifique sua resposta.
25. Seja A uma matriz quadrada de ordem n, mostre que:
(a) Se A satisfaz a igualdade A^{2}-3 A+I=0, então A^{-1}=3 I-A.
Passo 1
O enunciado propõe uma sequência de problemas de Álgebra Linear envolvendo propriedades de matrizes:
– 20) Mostrar que se \smash{A^{T}A=A}, então A é simétrica e idempotente.
– 21) Dada matriz quadrada A e diagonal D com \smash{AD=I}, o que podemos afirmar sobre A?
– 22) Para matriz diagonal invertível
determinar A^{-1}.
– 23) Provar a lei de cancelamento: se A é inversível e AB=AC, então B=C.
– 24) Verificar se é possível ter AB=I mas B não ser a inversa de A.
– 25(a)) Se A satisfaz A^2-3A+I=0, mostrar que A^{-1}=3I-A.
Conteúdos usados: operações com transposta, propriedades de matrizes diagonais, conceito de inversibilidade e cancelamento, polinômio mínimo e manipulação de inversas.
Passo 2
(Questão 20) Suponha \smash{A^{T}A=A}. Transpondo ambos os lados:
(A^{T}A)^{T} = A^{T}
mas (A^{T}A)^{T}=A^{T}(A^{T})^{T}=A^{T}A. Logo
A^{T}A = A^{T}.
Comparando com \smash{A^{T}A=A} obtemos \smash{A=A^{T}}, ou seja, A é simétrica. Em seguida,
A^{2} = A\,A = A^{T}A = A,
portanto A é idempotente (A=A^{2}).
Passo 3
(Questão 21) Se D=\diag(d_{1},\dots,d_{n}) e AD=I, então as colunas de AD são as colunas de A escaladas pelos d_{j}. Como AD=I, cada d_{j}\neq0 (caso contrário a coluna correspondente seria zero e não daria coluna da identidade). Logo D é invertível e
A = I\,D^{-1} = D^{-1}.
Concluímos que A também é diagonal (com entradas 1/d_{j}) e inversível, sendo exatamente a inversa de D.
Passo 4
(Questão 22) Para \displaystyle
A=\diag(a_{11},a_{22},\dots,a_{nn})
com \prod_{i}a_{ii}\neq0, a inversa existe e é dada pelo reciprocais na diagonal:
(Questão 23) Se A é inversível e AB=AC, multiplica-se a esquerda por A^{-1}:
A^{-1}(AB) = A^{-1}(AC) \quad\Longrightarrow\quad ( A^{-1}A )B = ( A^{-1}A )C \quad\Longrightarrow\quad I\,B = I\,C \quad\Longrightarrow\quad B = C.
Passo 6
(Questão 24) Se A,B são quadradas de mesma ordem e AB=I, então B=A^{-1}. De fato, o produto à esquerda por A^{-1} mostra B=A^{-1}. A única forma de ter AB=I sem B inversa seria em dimensões diferentes (matrizes retangulares), mas aí não se trata de inversa no sentido usual.
Passo 7
(Questão 25(a)) Se A satisfaz
A^{2} - 3A + I = 0,
e supondo A inversível, multiplica-se essa igualdade por A^{-1} à direita:
A - 3I + A^{-1} = 0 \quad\Longrightarrow\quad A^{-1} = 3I - A.
Resposta
A é simétrica e A é idempotente (A=A^{T} e A=A^{2}).