Se H(x)=e^[f(x)]^2 e f(1)=f^prime(1)=1, determine uma equação da reta tangente ao gráfico de H no ponto correspondente a x=1.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
H(x)=e^[f(x)]^2
e pede a reta tangente ao gráfico de H no ponto em que x=1, sabendo que f(1)=1 e f'(1)=1. Vamos precisar usar a regra da cadeia para derivar H e depois aplicar a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Para derivar H(x)=e^[f(x)]^2, note que é a composição de g(u)=e^u com u(x)=[f(x)]^2. Temos
g'(u)=e^u, u'(x)=2,f(x),f'(x)
Pela regra da cadeia,
H'(x)=g'(u(x))cdot u'(x) =e^[f(x)]^2cdotl(2,f(x),f'(x)r) =2,f(x),f'(x),e^[f(x)]^2

Passo 3

Avaliaremos em x=1. Como f(1)=1 e f'(1)=1, temos
H(1)=e^[f(1)]^2=e^1=e, H'(1)=2cdot1cdot1cdot e^1=2e

Passo 4

A reta tangente ao gráfico de H no ponto x=1 (cujas coordenadas são (1,H(1))=(1,e)) tem a forma
y - H(1) = H'(1),(x-1)
Substituindo H(1)=e e H'(1)=2e, obtemos
y - e = 2e,(x-1)

Resposta

y = 2e,x - e

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