Obtenha uma equação da reta tangente ao gráfico de f(x)= 10^x^2+x+1 no ponto (0,10).

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de f(x)=10^x^2+x+1 no ponto (0,10). Para isso precisamos (i) calcular a derivada f'(x) usando a regra da função exponencial e a regra da cadeia, e (ii) aplicar a fórmula da reta tangente em ponto dado:
y - f(x0) = f'(x0),(x - x0)

Passo 2

Calculamos f'(x). Seja u(x)=x^2+x+1. Então f(x)=10^u(x). Pela regra da exponencial com base 10 e cadeia:
f'(x)=10^u(x)cdotln(10)cdot u'(x)
e como u'(x)=2x+1, temos
f'(x)=10^x^2+x+1,ln(10),(2x+1)

Passo 3

A inclinação da tangente em x0=0 é
f'(0)=10^0^2+0+1,ln(10),(2cdot0+1) =10^1ln(10)cdot1 =10ln(10)

Passo 4

Usando a fórmula da reta tangente em (x0,y0)=(0,10):
y - 10 = 10ln(10),(x - 0),
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y = 10ln(10),x + 10

Resposta

y = 10ln(10),x + 10

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