Há evidência estatística de que um tipo de aço tem resistência superior? Justifique.

Passo 1

O que o enunciado pede: verificar se existe evidência estatística de que um tipo de aço tem resistência superior a outro.
Informações fornecidas no enunciado: nenhuma (o enunciado só pergunta qualitativamente).
Observação importante: para responder numericamente (calcular p‑valor, estatística de teste ou intervalo de confiança) eu preciso de dados concretos — por exemplo as amostras brutas, ou pelo menos os valores \bar{x}_1,\bar{x}_2 (médias amostrais), s_1,s_2 (desvios‑padrão amostrais) e n_1,n_2 (tamanhos amostrais), e o nível de significância \alpha. Como esses valores não foram fornecidos, não posso dar uma resposta numérica definitiva; abaixo eu mostro passo a passo o procedimento que você deve aplicar na prova (com explicações didáticas) e um exemplo numérico ilustrativo.

Passo 2

Formule as hipóteses (um teste de “superioridade” é um teste unilateral). Defina:
\mu_1 = \text{média da resistência do aço tipo 1},éêç
\mu_2 = \text{média da resistência do aço tipo 2}.éêç
As hipóteses são
H_0:\\ \mu_1=\mu_2
H_a:\\ \mu_1>\mu_2
ou seja, a hipótese alternativa diz que o tipo 1 tem resistência superior. Se quem se quer comparar for outro par (por ex. tipo 2 > tipo 1), inverta as subscritas.
Explicação didática: o teste verifica se a diferença de médias é positiva de forma estatisticamente convincente. O H_0 é a hipótese de “nenhuma diferença” (ou igualdade); H_a é a hipótese que queremos provar (a média do tipo 1 maior).

Passo 3

Escolha do teste e suposições básicas. Normalmente usamos o teste t para duas amostras independentes. Há duas situações:
  • Se podemos assumir que as variâncias das populações são iguais, podemos usar o t de variância combinada (pooled t).
  • Se não podemos assumir igualdade de variâncias (caso mais comum/seguro), usamos o teste de Welch (t de Welch), que não exige variâncias iguais.
Como estratégia prática na prova: use o teste de Welch (mais geral). Os dados necessários são: \bar{x}_1,\bar{x}_2,s_1^2,s_2^2,n_1,n_2 onde s_i^2 é a variância amostral do grupo i.

Passo 4

Fórmula da estatística de teste (teste de Welch). Calcule:
t=\frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}}}.
Explicação das variáveis:
  • \bar{x}_1 e \bar{x}_2 são as médias amostrais dos dois tipos de aço;
  • s_1^2 e s_2^2 são as variâncias amostrais (ou s_1,s_2 os desvios‑padrão);
  • n_1,n_2 são os tamanhos das amostras.
Interpretação: o numerador é a diferença observada entre médias; o denominador é o erro‑padrão dessa diferença. Quanto maior o t positivo, mais evidência a favor de \mu_1>\mu_2.

Passo 5

Graus de liberdade aproximados (fórmula de Welch). Use
\nu \approx \frac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\dfrac{(s_1^2/n_1)^2}{\,n_1-1\,}+\dfrac{(s_2^2/n_2)^2}{\,n_2-1\,}}.
Explicação: \nu é o número efetivo de graus de liberdade usado na distribuição t para obter p‑valores e quantis. A formulação é técnica, mas na prática você calcula com calma (ou a calculadora/estatística faz isso).

Passo 6

Regra de decisão e p‑valor (teste unilateral). Escolha nível de significância \alpha (comum é \alpha=0,05). Para o teste unilateral à direita:
  • Rejeite H_0 se t>t_{\nu,\,1-\alpha}, onde t_{\nu,\,1-\alpha} é o quantil 1-\alpha da t com \nu graus de liberdade.
  • Alternativamente, calcule o p‑valor unilaterial:
\text{p‑valor} = 1 - F_{t,\nu}(t),
onde F_{t,\nu} é a CDF da distribuição t com \nu graus de liberdade. Rejeita‑se H_0 se \text{p‑valor}<\alpha.
O que significa o p‑valor: a probabilidade, sob H_0, de observar uma estatística tão extrema quanto a observada. Um p‑valor pequeno indica que o dado é improvável sob H_0, logo evidência a favor de H_a.

Passo 7

Intervalos de confiança relacionados. Se quiser um intervalo para \mu_1-\mu_2, use (para um intervalo bilateral de nível 100(1-\gamma)\%):
(\bar{x}_1-\bar{x}_2)\pm t_{\nu,\,1-\gamma/2}\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}}.
Relação com teste unilateral: um teste unilateral a nível \alpha corresponde a verificar se o limite inferior do intervalo bilateral com nível 100(1-2\alpha)\% é maior que zero (ou usar o intervalo unilateral apropriado). Em termos práticos: se você fizer um teste unilateral com \alpha=0,05, o intervalo bilateral de 90\% é consistente para verificar superioridade.

Passo 8

Exemplo numérico ilustrativo (para você ver passo a passo como calcular). Suponha, apenas como exemplo, os seguintes dados fictícios:
n_1=10,\\ \bar{x}_1=520,\\ s_1=15;\qquad n_2=12,\\ \bar{x}_2=505,\\ s_2=20.
  1. Calcule s_1^2=15^2=225 e s_2^2=20^2=400.
  2. Erro‑padrão da diferença:
\text{SE}=\sqrt{\dfrac{225}{10}+\dfrac{400}{12}}=\sqrt{22,5+33,\overline{3}}=\sqrt{55,8333\ldots}\approx 7,47.
  1. Estatística t:
t=\frac{520-505}{7,47}\approx\frac{15}{7,47}\approx 2,01.
  1. Graus de liberdade (Welch):
\nu\approx\frac{(55,8333)^2}{\dfrac{(22,5)^2}{9}+\dfrac{(33,\overline{3})^2}{11}}\approx 19,83.
  1. Para \alpha=0,05 (teste unilateral), o quantil aproximado é t_{19,83,0,95}\approx 1,729. Como t\approx 2,01>1,729, rejeitamos H_0 e concluímos, neste exemplo, que há evidência de que o tipo 1 é superior. O p‑valor unilateral aproximado é p\approx 0,03.
  2. Observação sobre intervalo: o intervalo bilateral de 95\% daria (15\pm 15,59)=(-0,59;\,30,59) (contém zero), mas o intervalo bilateral de 90\% (usando t\approx1,729) é aproximadamente (2,07;\,27,93), que não contém zero — isto mostra a ligação entre teste unilateral a 5\% e intervalo bilateral a 90\%. Não se assuste: escolha entre teste unilateral ou intervalo deve ser consistente com o que a questão pede.

Passo 9

Resumo do procedimento que você deve aplicar na prova (passo a passo prático):
  1. Identifique as amostras e escreva \bar{x}_1,\bar{x}_2,s_1,s_2,n_1,n_2.
  2. Defina hipóteses \;H_0:\mu_1=\mu_2\; vs \;H_a:\mu_1>\mu_2.
  3. Calcule a estatística t pela fórmula de Welch.
  4. Calcule os graus de liberdade \nu pela fórmula de Welch.
  5. Compare t com t_{\nu,1-\alpha} ou obtenha o p‑valor unilateral; rejeite H_0 se t for maior que o quantil ou se p<\alpha.
  6. Interprete: se rejeitar, conclui‑se que há evidência estatística de superioridade (com o nível \alpha escolhido); se não rejeitar, não há evidência suficiente. Sempre reporte p‑valor e/ou intervalo de confiança.

Resposta

Não é possível responder numericamente porque o enunciado não fornece dados (faltam \bar{x}_1,\bar{x}_2,s_1,s_2,n_1,n_2 e o nível \alpha). Use o procedimento explicado acima com os seus dados para concluir se há evidência de superioridade.

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