Há evidência estatística de que um tipo de aço tem resistência superior? Justifique.
Passo 1
O que o enunciado pede: verificar se existe evidência estatística de que um tipo de aço tem resistência superior a outro.
Informações fornecidas no enunciado: nenhuma (o enunciado só pergunta qualitativamente).
Informações fornecidas no enunciado: nenhuma (o enunciado só pergunta qualitativamente).
Observação importante: para responder numericamente (calcular p‑valor, estatística de teste ou intervalo de confiança) eu preciso de dados concretos — por exemplo as amostras brutas, ou pelo menos os valores
(médias amostrais),
(desvios‑padrão amostrais) e
(tamanhos amostrais), e o nível de significância
. Como esses valores não foram fornecidos, não posso dar uma resposta numérica definitiva; abaixo eu mostro passo a passo o procedimento que você deve aplicar na prova (com explicações didáticas) e um exemplo numérico ilustrativo.
Passo 2
Formule as hipóteses (um teste de “superioridade” é um teste unilateral). Defina:
As hipóteses são
ou seja, a hipótese alternativa diz que o tipo 1 tem resistência superior. Se quem se quer comparar for outro par (por ex. tipo 2 > tipo 1), inverta as subscritas.
Explicação didática: o teste verifica se a diferença de médias é positiva de forma estatisticamente convincente. O
é a hipótese de “nenhuma diferença” (ou igualdade);
é a hipótese que queremos provar (a média do tipo 1 maior).
Passo 3
Escolha do teste e suposições básicas. Normalmente usamos o teste t para duas amostras independentes. Há duas situações:
- Se podemos assumir que as variâncias das populações são iguais, podemos usar o t de variância combinada (pooled t).
- Se não podemos assumir igualdade de variâncias (caso mais comum/seguro), usamos o teste de Welch (t de Welch), que não exige variâncias iguais.
Como estratégia prática na prova: use o teste de Welch (mais geral). Os dados necessários são:
onde
é a variância amostral do grupo
.
Passo 4
Fórmula da estatística de teste (teste de Welch). Calcule:
Explicação das variáveis:
-
e são as médias amostrais dos dois tipos de aço; -
e são as variâncias amostrais (ou os desvios‑padrão); -
são os tamanhos das amostras.
Interpretação: o numerador é a diferença observada entre médias; o denominador é o erro‑padrão dessa diferença. Quanto maior o
positivo, mais evidência a favor de
.
Passo 5
Graus de liberdade aproximados (fórmula de Welch). Use
Explicação:
é o número efetivo de graus de liberdade usado na distribuição
para obter p‑valores e quantis. A formulação é técnica, mas na prática você calcula com calma (ou a calculadora/estatística faz isso).
Passo 6
Regra de decisão e p‑valor (teste unilateral). Escolha nível de significância
(comum é
). Para o teste unilateral à direita:
- Rejeite
se , onde é o quantil da com graus de liberdade. - Alternativamente, calcule o p‑valor unilaterial:
onde
é a CDF da distribuição
com
graus de liberdade. Rejeita‑se
se
.
O que significa o p‑valor: a probabilidade, sob
, de observar uma estatística tão extrema quanto a observada. Um p‑valor pequeno indica que o dado é improvável sob
, logo evidência a favor de
.
Passo 7
Intervalos de confiança relacionados. Se quiser um intervalo para
, use (para um intervalo bilateral de nível
):
Relação com teste unilateral: um teste unilateral a nível
corresponde a verificar se o limite inferior do intervalo bilateral com nível
é maior que zero (ou usar o intervalo unilateral apropriado). Em termos práticos: se você fizer um teste unilateral com
, o intervalo bilateral de
é consistente para verificar superioridade.
Passo 8
Exemplo numérico ilustrativo (para você ver passo a passo como calcular). Suponha, apenas como exemplo, os seguintes dados fictícios:
- Calcule
e . - Erro‑padrão da diferença:
- Estatística
:
- Graus de liberdade (Welch):
- Para
(teste unilateral), o quantil aproximado é . Como , rejeitamos e concluímos, neste exemplo, que há evidência de que o tipo 1 é superior. O p‑valor unilateral aproximado é . - Observação sobre intervalo: o intervalo bilateral de
daria (contém zero), mas o intervalo bilateral de (usando ) é aproximadamente , que não contém zero — isto mostra a ligação entre teste unilateral a e intervalo bilateral a . Não se assuste: escolha entre teste unilateral ou intervalo deve ser consistente com o que a questão pede.
Passo 9
Resumo do procedimento que você deve aplicar na prova (passo a passo prático):
- Identifique as amostras e escreva
. - Defina hipóteses
vs . - Calcule a estatística
pela fórmula de Welch. - Calcule os graus de liberdade
pela fórmula de Welch. - Compare
com ou obtenha o p‑valor unilateral; rejeite se for maior que o quantil ou se . - Interprete: se rejeitar, conclui‑se que há evidência estatística de superioridade (com o nível
escolhido); se não rejeitar, não há evidência suficiente. Sempre reporte p‑valor e/ou intervalo de confiança.
Resposta
Não é possível responder numericamente porque o enunciado não fornece dados (faltam
e o nível
). Use o procedimento explicado acima com os seus dados para concluir se há evidência de superioridade.