Mostre que 2 X é uma variável aleatória em ( \Omega, \mathcal{F} ), desde que X também seja.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que 2X é uma variável aleatória em (\Omega,\mathcal{F}), supondo que X já seja.
Informações dadas:
  • X é uma variável aleatória, isto é, X:(\Omega,\mathcal{F})\to(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})) é mensurável.
  • Queremos provar que a função 2X:\Omega\to\mathbb{R} definida por \omega\mapsto 2X(\omega) também é mensurável (portanto, é variável aleatória).
    A resolução começa a partir dessa definição de variável aleatória e vai mostrar a propriedade de mensurabilidade para 2X.

Passo 2

Relembrando a definição (passo-a-passo, sem pular etapa):
Uma função Y:(\Omega,\mathcal{F})\to(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})) é mensurável (ou seja, variável aleatória) se, para todo conjunto de Borel B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}), o pré-imagem Y^{-1}(B) pertence a \mathcal{F}.
Aqui, Y^{-1}(B)=\{\omega\in\Omega \mid Y(\omega)\in B\}. A ideia prática: verificar que as pré-imagens de conjuntos geradores da sigma-álgebra de Borel caem em \mathcal{F}.

Passo 3

Escolha do método (por que usar meios simples):
Uma forma padrão e bem prática é verificar a condição de mensurabilidade apenas em um gerador da sigma-álgebra de Borel. Um gerador conveniente é o conjunto dos intervalos do tipo (-\infty,a] com a\in\mathbb{R}, porque a família \{(-\infty,a]\}_{a\in\mathbb{R}} gera \mathcal{B}(\mathbb{R}).
Explicando por que isso basta: defina
\mathcal{S}=\{B\in\mathcal{B}(\mathbb{R})\mid (2X)^{-1}(B)\in\mathcal{F}\}.
A operação pré-imagem preserva complemento e uniões contáveis, logo \mathcal{S} é uma sigma-álgebra. Se mostramos que todos os intervalos (-\infty,a] pertencem a \mathcal{S}, então \mathcal{S} contém o gerador e, por isso, \mathcal{S}=\mathcal{B}(\mathbb{R}). Assim basta checar os intervalos (-\infty,a].

Passo 4

Cálculo das pré-imagens para um intervalo gerador: pegue um a\in\mathbb{R}. Então
(2X)^{-1}((-\infty,a])=\{\omega\in\Omega \mid 2X(\omega)\le a\}.
Como 2>0, podemos dividir a desigualdade por 2 sem trocar o sentido, obtendo
\{\omega\in\Omega \mid 2X(\omega)\le a\}=\{\omega\in\Omega \mid X(\omega)\le a/2\}.
Portanto
(2X)^{-1}((-\infty,a])=X^{-1}((-\infty,a/2]).
Cada passo acima é apenas manipulação lógica da definição de pré-imagem e da desigualdade (não usei nada mais pesado).

Passo 5

Usando a hipótese que X é mensurável: para todo a\in\mathbb{R} temos
X^{-1}((-\infty,a/2])\in\mathcal{F},
pois (-\infty,a/2] é um conjunto de Borel e X satisfaz a condição de pré-imagens de conjuntos de Borel estarem em \mathcal{F}. Combinando com a igualdade do Passo 4, obtemos que
(2X)^{-1}((-\infty,a])\in\mathcal{F}\quad\text{para todo }a\in\mathbb{R}.

Passo 6

Conclusão a partir do gerador: como mostramos que para todo gerador (-\infty,a] da sigma-álgebra de Borel a pré-imagem por 2X pertence a \mathcal{F}, pela argumentação do Passo 3 segue que para todo B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}) temos (2X)^{-1}(B)\in\mathcal{F}. Ou seja, 2X é mensurável.
Observação adicional (intuitiva): a transformação x\mapsto 2x é contínua, e a composição de uma função mensurável X com uma função contínua é mensurável; isso dá uma outra maneira curta de ver o mesmo resultado.

Resposta

Sim. 2X é uma variável aleatória em (\Omega,\mathcal{F}).

Exercícios relacionados