Mostre que
é uma variável aleatória em (
), desde que
também seja.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é uma variável aleatória em
, supondo que
já seja.
Informações dadas:
Informações dadas:
-
é uma variável aleatória, isto é, é mensurável. - Queremos provar que a função
definida por também é mensurável (portanto, é variável aleatória).
A resolução começa a partir dessa definição de variável aleatória e vai mostrar a propriedade de mensurabilidade para.
Passo 2
Relembrando a definição (passo-a-passo, sem pular etapa):
Uma função é mensurável (ou seja, variável aleatória) se, para todo conjunto de Borel
, o pré-imagem
pertence a
.
Aqui, . A ideia prática: verificar que as pré-imagens de conjuntos geradores da sigma-álgebra de Borel caem em
.
Uma função
Aqui,
Passo 3
Escolha do método (por que usar meios simples):
Uma forma padrão e bem prática é verificar a condição de mensurabilidade apenas em um gerador da sigma-álgebra de Borel. Um gerador conveniente é o conjunto dos intervalos do tipo com
, porque a família
gera
.
Explicando por que isso basta: defina
Uma forma padrão e bem prática é verificar a condição de mensurabilidade apenas em um gerador da sigma-álgebra de Borel. Um gerador conveniente é o conjunto dos intervalos do tipo
Explicando por que isso basta: defina
A operação pré-imagem preserva complemento e uniões contáveis, logo
é uma sigma-álgebra. Se mostramos que todos os intervalos
pertencem a
, então
contém o gerador e, por isso,
. Assim basta checar os intervalos
.
Passo 4
Cálculo das pré-imagens para um intervalo gerador: pegue um
. Então
Como
, podemos dividir a desigualdade por
sem trocar o sentido, obtendo
Portanto
Cada passo acima é apenas manipulação lógica da definição de pré-imagem e da desigualdade (não usei nada mais pesado).
Passo 5
Usando a hipótese que
é mensurável: para todo
temos
pois
é um conjunto de Borel e
satisfaz a condição de pré-imagens de conjuntos de Borel estarem em
. Combinando com a igualdade do Passo 4, obtemos que
Passo 6
Conclusão a partir do gerador: como mostramos que para todo gerador
da sigma-álgebra de Borel a pré-imagem por
pertence a
, pela argumentação do Passo 3 segue que para todo
temos
. Ou seja,
é mensurável.
Observação adicional (intuitiva): a transformação é contínua, e a composição de uma função mensurável
com uma função contínua é mensurável; isso dá uma outra maneira curta de ver o mesmo resultado.
Observação adicional (intuitiva): a transformação
Resposta
Sim.
é uma variável aleatória em
.