Mostre que
é uma variável aleatória em
, desde que
também seja.
Passo 1
O que o problema pede e o que já foi dado.
- Pede-se para mostrar que
é uma variável aleatória em . - Informação dada:
já é variável aleatória em . Ou seja, por definição, é uma função mensurável
onde
é a sigma-álgebra de Borel em
.
- Objetivo explícito: provar que a função
é mensurável (pertence a
como pré-imagem de conjuntos de Borel), ou seja,
é mensurável.
Passo 2
Definição e estratégia geral (sem resolver ainda).
- Definição útil: uma função
é mensurável se, para todo ,
- Observação prática: basta verificar essa condição para uma família geradora de
, por exemplo intervalos do tipo . - Estratégia que vou usar (simples e padrão): escrever
como composição de duas funções
onde
é dada por
. Vou mostrar que
é Borel mensurável (na verdade contínua) e então usar que composição de função mensurável com função Borel-mensurável é mensurável. Também mostro, como alternativa explícita, a verificação direta das pré-imagens de intervalos, caso você prefira ver as contas.
Passo 3
Provar que
é contínua e, portanto, Borel mensurável.
- Lembrete: polinômios são funções contínuas em
. A função é o polinômio , logo é contínua em todo . - Teorema usado: toda função contínua
tem a propriedade é aberto para qualquer conjunto aberto . Como conjuntos abertos pertencem a , segue que para todo . - Conclusão deste passo:
é Borel mensurável, isto é,
é mensurável.
Passo 4
Provar que composição de mensurável com Borel-mensurável é mensurável (argumento formal).
- Suponha
é mensurável e é mensurável. Então, para qualquer ,
- Como
(porque é Borel-mensurável) e leva conjuntos de para (porque é mensurável), obtemos
- Portanto
para todo , ou seja, é mensurável.
Passo 5
Aplicação direta ao caso
.
- Tomando
(que provamos ser Borel-mensurável) e usando que é mensurável, pela propriedade da composição temos que
é mensurável. Assim
é uma variável aleatória em
.
Passo 6
Alternativa prática (verificação direta das pré-imagens de intervalos) — para ver “as contas” sem usar o argumento abstrato de composição. Isso é útil para entender o que acontece com conjuntos concretos.
- Fixe
e considere o conjunto . Note que para todo . Então: - Se
então . - Se
então .
- Se
- Como
é mensurável, para qualquer os conjuntos e pertencem a . Portanto o conjunto acima está em . - Conclusão: para todo
temos . Como intervalos geram , isso já garante que é mensurável. Este cálculo explícito confirma o resultado obtido pela composição.
Passo 7
Resumo final e motivação prática.
- Resumindo:
é contínua é Borel-mensurável. Composição de com a variável aleatória é mensurável. Logo é variável aleatória. - Observação extra útil para a prova: o mesmo argumento vale para qualquer polinômio
ou qualquer função contínua ; se é mensurável então é mensurável. Isso dá uma técnica rápida para construir variáveis aleatórias novas a partir de .