Mostre que X^{4} é uma variável aleatória em (\Omega, \mathcal{F}), desde que X também seja.

Passo 1

O que o problema pede e o que já foi dado.
  • Pede-se para mostrar que (X^{4}) é uma variável aleatória em (\Omega,\mathcal{F}).
  • Informação dada: X já é variável aleatória em (\Omega,\mathcal{F}). Ou seja, por definição, X é uma função mensurável
X:(\Omega,\mathcal{F})\to(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})),
onde \mathcal{B}(\mathbb{R}) é a sigma-álgebra de Borel em \mathbb{R}.
  • Objetivo explícito: provar que a função
\omega\mapsto X(\omega)^4
é mensurável (pertence a \mathcal{F} como pré-imagem de conjuntos de Borel), ou seja,
X^4:(\Omega,\mathcal{F})\to(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))
é mensurável.

Passo 2

Definição e estratégia geral (sem resolver ainda).
  • Definição útil: uma função Y:(\Omega,\mathcal{F})\to(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})) é mensurável se, para todo B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}),
Y^{-1}(B)=\{\omega\in\Omega: Y(\omega)\in B\}\in\mathcal{F}.
  • Observação prática: basta verificar essa condição para uma família geradora de \mathcal{B}(\mathbb{R}), por exemplo intervalos do tipo (-\infty,a].
  • Estratégia que vou usar (simples e padrão): escrever X^4 como composição de duas funções
X^4 = f\circ X,
onde f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é dada por f(t)=t^4. Vou mostrar que f é Borel mensurável (na verdade contínua) e então usar que composição de função mensurável com função Borel-mensurável é mensurável. Também mostro, como alternativa explícita, a verificação direta das pré-imagens de intervalos, caso você prefira ver as contas.

Passo 3

Provar que f(t)=t^4 é contínua e, portanto, Borel mensurável.
  • Lembrete: polinômios são funções contínuas em \mathbb{R}. A função f é o polinômio t\mapsto t^4, logo é contínua em todo \mathbb{R}.
  • Teorema usado: toda função contínua f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} tem a propriedade f^{-1}(U) é aberto para qualquer conjunto aberto U\subset\mathbb{R}. Como conjuntos abertos pertencem a \mathcal{B}(\mathbb{R}), segue que f^{-1}(B)\in\mathcal{B}(\mathbb{R}) para todo B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}).
  • Conclusão deste passo: f é Borel mensurável, isto é,
f:(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))\to(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))
é mensurável.

Passo 4

Provar que composição de mensurável com Borel-mensurável é mensurável (argumento formal).
  • Suponha X:(\Omega,\mathcal{F})\to(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})) é mensurável e f:(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))\to(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R})) é mensurável. Então, para qualquer B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}),
(f\circ X)^{-1}(B)=\{\omega:X(\omega)\in f^{-1}(B)\}=X^{-1}\big(f^{-1}(B)\big).
  • Como f^{-1}(B)\in\mathcal{B}(\mathbb{R}) (porque f é Borel-mensurável) e X^{-1} leva conjuntos de \mathcal{B}(\mathbb{R}) para \mathcal{F} (porque X é mensurável), obtemos
X^{-1}\big(f^{-1}(B)\big)\in\mathcal{F}.
  • Portanto (f\circ X)^{-1}(B)\in\mathcal{F} para todo B\in\mathcal{B}(\mathbb{R}), ou seja, f\circ X é mensurável.

Passo 5

Aplicação direta ao caso X^4.
  • Tomando f(t)=t^4 (que provamos ser Borel-mensurável) e usando que X é mensurável, pela propriedade da composição temos que
X^4 = f\circ X
é mensurável. Assim X^4 é uma variável aleatória em (\Omega,\mathcal{F}).

Passo 6

Alternativa prática (verificação direta das pré-imagens de intervalos) — para ver “as contas” sem usar o argumento abstrato de composição. Isso é útil para entender o que acontece com conjuntos concretos.
  • Fixe a\in\mathbb{R} e considere o conjunto \{\omega: X(\omega)^4\le a\}. Note que X(\omega)^4\ge 0 para todo \omega. Então:
    • Se a<0 então \{\omega: X^4\le a\}=\varnothing\in\mathcal{F}.
    • Se a\ge 0 então \{\omega: X^4\le a\}=\{\omega: |X(\omega)|\le a^{1/4}\}=\{\omega:-a^{1/4}\le X(\omega)\le a^{1/4}\}.
  • Como X é mensurável, para qualquer b os conjuntos \{\omega:X(\omega)\le b\} e \{\omega:X(\omega)< b\} pertencem a \mathcal{F}. Portanto o conjunto acima está em \mathcal{F}.
  • Conclusão: para todo a\in\mathbb{R} temos \{\omega:X^4(\omega)\le a\}\in\mathcal{F}. Como intervalos (-\infty,a] geram \mathcal{B}(\mathbb{R}), isso já garante que X^4 é mensurável. Este cálculo explícito confirma o resultado obtido pela composição.

Passo 7

Resumo final e motivação prática.
  • Resumindo: f(t)=t^4 é contínua \Rightarrow f é Borel-mensurável. Composição de f com a variável aleatória X é mensurável. Logo X^4 é variável aleatória.
  • Observação extra útil para a prova: o mesmo argumento vale para qualquer polinômio p(t) ou qualquer função contínua g(t); se X é mensurável então g(X) é mensurável. Isso dá uma técnica rápida para construir variáveis aleatórias novas a partir de X.

Resposta

X^{4} é uma variável aleatória (isto é, X^{4} é mensurável em (\Omega,\mathcal{F})).

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