Hallar las derivadas parciales de: f(x, y) = x^3 + x*y^2 - 3*x^2*y + 5*x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as derivadas parciais da função . Isso faz parte da matéria de Cálculo, especificamente de derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar uma função em relação a uma das suas variáveis mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que chamamos de . Isso significa que vamos derivar cada termo da função em relação a , tratando como uma constante.
Então, derivando termo a termo:
  • A derivada de em relação a é (usamos a regra do poder).
  • A derivada de em relação a é (já que é constante).
  • A derivada de em relação a é (usando a regra do poder e multiplicando pela constante -3 e pelo ).
  • A derivada de em relação a é .
Agora, somamos todas essas derivadas:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que chamamos de . Dessa vez, vamos derivar cada termo da função em relação a , tratando como uma constante.
Derivando termo a termo:
  • A derivada de em relação a é (já que não depende de ).
  • A derivada de em relação a é (usando a regra do poder).
  • A derivada de em relação a é (já que é constante).
  • A derivada de em relação a é (igual ao primeiro termo).
Agora, somamos todas essas derivadas:

Resposta

As derivadas parciais da função são:
e

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