Halle la masa total de la esfera \Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1\right\}, sabiendo que su densidad en el punto P es directamente proporcional a la distancia de P al origen, siendo igual a la unidad en los puntos de la frontera de \Omega.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Região \Omega: \Omega=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1\} (esfera sólida de raio 1, centrada na origem).
  • Densidade no ponto P: é diretamente proporcional à distância de P ao origem; nos pontos da fronteira de \Omega a densidade vale 1.
  • Pergunta: calcular a massa total da esfera \Omega.

Passo 2

Escrever a densidade em função da distância ao origem. Seja r a distância do ponto P ao origem, ou seja r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. Se a densidade é diretamente proporcional a r existe uma constante k tal que
\rho(P)=k\,r.
Como na fronteira de \Omega temos r=1 e a densidade é 1, basta impor k\cdot 1=1. Portanto k=1 e
\rho(P)=r.

Passo 3

Escrever a massa total como integral da densidade sobre o volume:
M=\iiint_{\Omega}\rho(P)\,dV=\iiint_{\Omega} r\,dV,
onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. Para calcular essa integral convém usar coordenadas esféricas, pois a integranda e a região são radiais (dependem só de r).

Passo 4

Definir coordenadas esféricas e o elemento de volume. Usando coordenadas esféricas convencionais:
  • r é a distância ao origem, com 0\le r\le 1.
  • \theta é o ângulo polar (medido a partir do eixo z), com 0\le \theta\le \pi.
  • \varphi é o ângulo azimutal (no plano xy), com 0\le \varphi\le 2\pi.
    As relações para as coordenadas cartesianas são
x=r\sin\theta\cos\varphi,\qquad y=r\sin\theta\sin\varphi,\qquad z=r\cos\theta.
O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por
dV=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
Breve explicação do r^{2}\sin\theta: um elemento de volume pequeno corresponde a comprimentos aproximados dr, r\,d\theta e r\sin\theta\,d\varphi; o produto desses comprimentos dá r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.

Passo 5

Substituir \rho=r e dV=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi na integral de massa. Assim
M=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1} r\cdot\bigl(r^{2}\sin\theta\bigr)\,dr\,d\theta\,d\varphi =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{1} r^{3}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.

Passo 6

Separar a integral em parte radial e parte angular (a integral é produto de integrais porque os limites são produtos cartesianos):
M=\left(\int_{0}^{1} r^{3}\,dr\right)\left(\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta\right)\left(\int_{0}^{2\pi} d\varphi\right).

Passo 7

Calcular cada integral simples:
  • Integral radial:
\int_{0}^{1} r^{3}\,dr=\left.\frac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{1}=\frac{1}{4}.
  • Integral em \theta:
\int_{0}^{\pi}\sin\theta\,d\theta=\left.-\cos\theta\right|_{0}^{\pi}= -\cos\pi+ \cos 0 = -(-1)+1=2.
  • Integral em \varphi:
\int_{0}^{2\pi} d\varphi = 2\pi.
Multiplicando:
M=\frac{1}{4}\cdot 2\cdot 2\pi = \pi.

Passo 8

Interpretação final e verificação rápida: a massa total da esfera com densidade que cresce linearmente com a distância até o centro (valendo 1 na superfície de raio 1) é \pi, aproximadamente 3{,}1416. Está coerente com a simetria do problema e com as contas feitas.

Resposta

\pi

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