Halle la masa total de la esfera \Omega=\left\{(x, y, z) \mid x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1\right\}, sabiendo que su densidad en el punto P es directamente proporcional a la distancia de P al origen, siendo igual a la unidad en los puntos de la frontera de \Omega.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
Região \Omega: \Omega=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1\} (esfera sólida de raio 1, centrada na origem).
Densidade no ponto P: é diretamente proporcional à distância de P ao origem; nos pontos da fronteira de \Omega a densidade vale 1.
Pergunta: calcular a massa total da esfera \Omega.
Passo 2
Escrever a densidade em função da distância ao origem. Seja r a distância do ponto P ao origem, ou seja r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. Se a densidade é diretamente proporcional a r existe uma constante k tal que
\rho(P)=k\,r.
Como na fronteira de \Omega temos r=1 e a densidade é 1, basta impor k\cdot 1=1. Portanto k=1 e
\rho(P)=r.
Passo 3
Escrever a massa total como integral da densidade sobre o volume:
onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. Para calcular essa integral convém usar coordenadas esféricas, pois a integranda e a região são radiais (dependem só de r).
Passo 4
Definir coordenadas esféricas e o elemento de volume. Usando coordenadas esféricas convencionais:
r é a distância ao origem, com 0\le r\le 1.
\theta é o ângulo polar (medido a partir do eixo z), com 0\le \theta\le \pi.
\varphi é o ângulo azimutal (no plano xy), com 0\le \varphi\le 2\pi.
As relações para as coordenadas cartesianas são
O elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por
dV=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
Breve explicação do r^{2}\sin\theta: um elemento de volume pequeno corresponde a comprimentos aproximados dr, r\,d\theta e r\sin\theta\,d\varphi; o produto desses comprimentos dá r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi.
Passo 5
Substituir \rho=r e dV=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi na integral de massa. Assim
Interpretação final e verificação rápida: a massa total da esfera com densidade que cresce linearmente com a distância até o centro (valendo 1 na superfície de raio 1) é \pi, aproximadamente 3{,}1416. Está coerente com a simetria do problema e com as contas feitas.