calcule el valor medio de la función
dada, en la región indicada
, en la región
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Função dada:
. - Região dada:
, isto é, o disco de raio centrado na origem. - O enunciado pede: calcular o valor médio de
na região .
Informações relevantes que vamos usar (retidas do enunciado):
- A fórmula do disco: o raio é
, logo a área de é . - A função depende somente de
, o que sugere usar coordenadas polares.
Passo 2
Definição do valor médio (fórmula) e interpretação:
- O valor médio de uma função
numa região de área é dado por
Explicando:
é a integral dupla que soma (integral) os valores de
sobre toda a área de
; dividir pela área normaliza para obter a média.
Passo 3
Calcular a área da região
:
- Como
é o disco de raio , a área é
Passo 4
Justificativa e mudança para coordenadas polares:
- Em coordenadas polares usamos
, . - O elemento de área transforma-se como
(esse é o jacobiano da transformação; ele aparece porque pequenas áreas em polares têm tamanho aproximadamente ). - Na nossa função
, então a integrando fica simples: . - Os limites para o disco de raio
são e .
Passo 5
Montar a integral dupla em polares:
Explicando: integrámos primeiro em
(do centro ao bordo) e depois em
ao redor de
a
.
Passo 6
Calcular a integral em
usando substituição:
- Tome a substituição
. Então ou . - Quando
tem ; quando tem . - Assim
Expliquei: a substituição simplifica porque
aparece naturalmente; a integral de
é
.
Passo 7
Integrar em
e obter a integral total:
- A integral em
é simples, pois o resultado em não depende de :
Passo 8
Calcular o valor médio dividindo pela área:
- Pela fórmula do passo 2,
- Interpretação final: o valor médio é
, um número entre e . Uma aproximação numérica é .