calcule el valor medio de la función \mathrm{z}=f(x, y) dada, en la región indicada
f(x, y)=e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}, en la región R=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Função dada: f(x,y)=e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}.
  • Região dada: R=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\leq 1\}, isto é, o disco de raio 1 centrado na origem.
  • O enunciado pede: calcular o valor médio de f na região R.
Informações relevantes que vamos usar (retidas do enunciado):
  • A fórmula do disco: o raio é 1, logo a área de R é \pi.
  • A função depende somente de x^{2}+y^{2}, o que sugere usar coordenadas polares.

Passo 2

Definição do valor médio (fórmula) e interpretação:
  • O valor médio de uma função f numa região R de área \text{Area}(R) é dado por
\bar{f}=\frac{1}{\text{Area}(R)}\iint_{R} f(x,y)\,dA.
Explicando: \iint_{R} f(x,y)\,dA é a integral dupla que soma (integral) os valores de f sobre toda a área de R; dividir pela área normaliza para obter a média.

Passo 3

Calcular a área da região R:
  • Como R é o disco de raio 1, a área é
\text{Area}(R)=\pi\cdot 1^{2}=\pi.

Passo 4

Justificativa e mudança para coordenadas polares:
  • Em coordenadas polares usamos x=r\cos\theta, y=r\sin\theta.
  • O elemento de área transforma-se como dA = r\,dr\,d\theta (esse r é o jacobiano da transformação; ele aparece porque pequenas áreas em polares têm tamanho aproximadamente r\,dr\,d\theta).
  • Na nossa função x^{2}+y^{2}=r^{2}, então a integrando fica simples: f(x,y)=e^{-r^{2}}.
  • Os limites para o disco de raio 1 são 0\le r\le 1 e 0\le \theta\le 2\pi.

Passo 5

Montar a integral dupla em polares:
\iint_{R} e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dA = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} e^{-r^{2}}\; r\,dr\,d\theta.
Explicando: integrámos primeiro em r (do centro ao bordo) e depois em \theta ao redor de 0 a 2\pi.

Passo 6

Calcular a integral em r usando substituição:
  • Tome a substituição \;u=r^{2}. Então \;du=2r\,dr ou \;r\,dr=\tfrac{1}{2}\,du.
  • Quando r=0 tem u=0; quando r=1 tem u=1.
  • Assim
\int_{0}^{1} e^{-r^{2}} r\,dr = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} e^{-u}\,du = \frac{1}{2}\bigl[-e^{-u}\bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\bigl(1-e^{-1}\bigr).
Expliquei: a substituição simplifica porque r\,dr aparece naturalmente; a integral de e^{-u} é -e^{-u}.

Passo 7

Integrar em \theta e obter a integral total:
  • A integral em \theta é simples, pois o resultado em r não depende de \theta:
\iint_{R} e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dA = \int_{0}^{2\pi} \left(\frac{1}{2}\bigl(1-e^{-1}\bigr)\right)\,d\theta = \frac{1}{2}\bigl(1-e^{-1}\bigr)\cdot 2\pi = \pi\bigl(1-e^{-1}\bigr).

Passo 8

Calcular o valor médio dividindo pela área:
  • Pela fórmula do passo 2,
\bar{f}=\frac{1}{\text{Area}(R)}\iint_{R} f\,dA = \frac{1}{\pi}\cdot \pi\bigl(1-e^{-1}\bigr) = 1-e^{-1}.
  • Interpretação final: o valor médio é 1-\dfrac{1}{e}, um número entre 0 e 1. Uma aproximação numérica é \approx 0,6321205588.

Resposta

1-e^{-1}\approx 0,6321205588

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