calcule el valor medio de la función \mathrm{z}=f(x, y) dada, en la región indicada
f(x, y)=x+y, en el rectángulo R=[0,2] \times[0,3].

Passo 1

O enunciado dá a função \mathrm{z}=f(x,y) e a região onde vamos calcular o valor médio. Especificamente:
  • f(x,y)=x+y.
  • A região R é o retângulo R=[0,2]\times[0,3], isto é, 0\le x\le2 e 0\le y\le3.
O que o problema pede:
  • Calcular o valor médio da função f sobre a região R. Em outras palavras: qual é a média dos valores de f(x,y) quando (x,y) varia uniformemente sobre R.

Passo 2

Recordando a definição prática do valor médio de uma função sobre uma região:
  • O valor médio de f sobre uma região R no plano é a integral dupla de f sobre R dividida pela área de R.
Mais formalmente, se A(R) é a área de R, então o valor médio é
\overline{f}=\frac{1}{A(R)}\iint_{R} f(x,y)\,dA.
Aqui:
  • \overline{f} é o valor médio pedido.
  • A(R) é a área do retângulo R.
  • \iint_{R} f(x,y)\,dA significa somar (integrar) os valores de f em todos os pontos de R; dA é o elemento de área (que, em coordenadas retangulares, é dA=dx\,dy ou dy\,dx).

Passo 3

Calcular a área de R. Para um retângulo, a área é base vezes altura:
A(R)=\text{largura}\times\text{altura}=(2-0)\times(3-0)=2\cdot 3=6.

Passo 4

Agora montamos a integral dupla de f(x,y)=x+y sobre R. Podemos usar integração iterada (Fubini) porque f é contínua em R. Escrevendo a integral como integração primeira em y e depois em x:
\iint_{R} (x+y)\,dA = \int_{x=0}^{2}\left(\int_{y=0}^{3} (x+y)\,dy\right)dx.
Vou calcular primeiro a integral interna \displaystyle\int_{0}^{3} (x+y)\,dy.

Passo 5

Calcular a integral interna passo a passo:
  • Para integrar (x+y) em relação a y, trate x como constante.
  • A primitiva de x em y é x y (porque derivando x y em relação a y x).
  • A primitiva de y em y é \tfrac{y^{2}}{2}.
Portanto,
\int_{y=0}^{3} (x+y)\,dy = \left[ x y + \tfrac{y^{2}}{2} \right]_{0}^{3}.
Avalie em y=3 e subtraia o valor em y=0:
x\cdot 3 + \tfrac{3^{2}}{2} - \big( x\cdot 0 + \tfrac{0^{2}}{2}\big) = 3x + \tfrac{9}{2}.

Passo 6

Agora integramos o resultado em x de 0 a 2:
\iint_{R} (x+y)\,dA = \int_{x=0}^{2} \left(3x + \tfrac{9}{2}\right) dx.
Calcule a integral term a term:
  • A primitiva de 3x em x é \tfrac{3x^{2}}{2}.
  • A primitiva de \tfrac{9}{2} em x é \tfrac{9}{2}x.
Assim,
\int_{0}^{2} \left(3x + \tfrac{9}{2}\right) dx = \left[ \tfrac{3x^{2}}{2} + \tfrac{9}{2}x \right]_{0}^{2}.
Avalie em x=2:
\tfrac{3\cdot 2^{2}}{2} + \tfrac{9}{2}\cdot 2 = \tfrac{3\cdot 4}{2} + 9 = \tfrac{12}{2} + 9 = 6 + 9 = 15.
Logo \displaystyle\iint_{R} (x+y)\,dA = 15.

Passo 7

Finalmente, aplicamos a fórmula do valor médio dividindo a integral pela área:
\overline{f}=\frac{1}{A(R)}\iint_{R} f(x,y)\,dA = \frac{1}{6}\cdot 15 = \frac{15}{6} = \frac{5}{2}.
Em forma decimal, isso é 2{,}5.

Passo 8

Atalho/intuição (útil na prova): como f(x,y)=x+y é soma de duas funções que dependem de variáveis separadas, o valor médio separa-se:
\overline{f}=\overline{x}+\overline{y},
onde \overline{x} é a média de x em [0,2] (que vale \tfrac{0+2}{2}=1) e \overline{y} é a média de y em [0,3] (que vale \tfrac{0+3}{2}=\tfrac{3}{2}). Soma: 1+\tfrac{3}{2}=\tfrac{5}{2}. Esse raciocínio é mais rápido e muito útil em provas quando a região é um retângulo e a função separa assim.

Resposta

\dfrac{5}{2}=2{,}5

Exercícios relacionados