calcule el valor medio de la función \mathrm{z}=f(x, y) dada, en la región indicada f(x, y)=x+y, en el rectángulo R=[0,2] \times[0,3].
Passo 1
O enunciado dá a função \mathrm{z}=f(x,y) e a região onde vamos calcular o valor médio. Especificamente:
f(x,y)=x+y.
A região R é o retângulo R=[0,2]\times[0,3], isto é, 0\le x\le2 e 0\le y\le3.
O que o problema pede:
Calcular o valor médio da função f sobre a região R. Em outras palavras: qual é a média dos valores de f(x,y) quando (x,y) varia uniformemente sobre R.
Passo 2
Recordando a definição prática do valor médio de uma função sobre uma região:
O valor médio de f sobre uma região R no plano é a integral dupla de f sobre R dividida pela área de R.
Mais formalmente, se A(R) é a área de R, então o valor médio é
\overline{f}=\frac{1}{A(R)}\iint_{R} f(x,y)\,dA.
Aqui:
\overline{f} é o valor médio pedido.
A(R) é a área do retângulo R.
\iint_{R} f(x,y)\,dA significa somar (integrar) os valores de f em todos os pontos de R; dA é o elemento de área (que, em coordenadas retangulares, é dA=dx\,dy ou dy\,dx).
Passo 3
Calcular a área de R. Para um retângulo, a área é base vezes altura:
Agora montamos a integral dupla de f(x,y)=x+y sobre R. Podemos usar integração iterada (Fubini) porque f é contínua em R. Escrevendo a integral como integração primeira em y e depois em x:
Atalho/intuição (útil na prova): como f(x,y)=x+y é soma de duas funções que dependem de variáveis separadas, o valor médio separa-se:
\overline{f}=\overline{x}+\overline{y},
onde \overline{x} é a média de x em [0,2] (que vale \tfrac{0+2}{2}=1) e \overline{y} é a média de y em [0,3] (que vale \tfrac{0+3}{2}=\tfrac{3}{2}). Soma: 1+\tfrac{3}{2}=\tfrac{5}{2}. Esse raciocínio é mais rápido e muito útil em provas quando a região é um retângulo e a função separa assim.