O Hamiltoniano para um determinado sistema de três níveis está representado pela seguinte matriz:
Dois outros observáveis, e , estão representados pelas matrizes
em que são números reais positivos.
Calcule os autovalores e autovetores normalizados de e .
Passo 1
O enunciado pede para a gente encontrar, para três matrizes hermitianas (o Hamiltoniano e os observáveis e ), os autovalores e os autovetores normalizados.
Conteúdo envolvido:
Autovalores/autovetores de matrizes (resolução da equação característica );
Normalização de vetores (dividir pelo módulo para ter norma 1).
O que precisamos: calcular determinantes 3×3 (ou usar o fato de ser diagonal), resolver polinômios para , achar vetores próprios e normalizá-los.
Passo 2
Resolvendo : é diagonal, então já sabemos:
Autovalores: , , .
Autovetores (no padrão canônico): .
Eles já têm norma 1, então estão normalizados.