O Hamiltoniano para um determinado sistema de três níveis está representado pela seguinte matriz:
Dois outros observáveis, H=hbar omega(lll 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 2 ) e S, estão representados pelas matrizes
em que B são números reais positivos.
Calcule os autovalores e autovetores normalizados de S=hbar2(ccc 0 & -i & 0 i & 0 & 0 0 & 0 & 1 ), B=hbar2(ccc 0 & 0 & 1 0 & 0 & -i 1 & i & 0 ) e E1, E2, A, hbar.

Passo 1

O enunciado pede para a gente encontrar, para três matrizes hermitianas (o Hamiltoniano e os observáveis e ), os autovalores e os autovetores normalizados.
Conteúdo envolvido:
  • Autovalores/autovetores de matrizes (resolução da equação característica );
  • Normalização de vetores (dividir pelo módulo para ter norma 1).
    O que precisamos: calcular determinantes 3×3 (ou usar o fato de ser diagonal), resolver polinômios para , achar vetores próprios e normalizá-los.

Passo 2

Resolvendo 1&0&00&2&00&0&2:
é diagonal, então já sabemos:
  • Autovalores:
    , , .
  • Autovetores (no padrão canônico):
    .
    Eles já têm norma 1, então estão normalizados.

Passo 3

Resolvendo S=hbar2 0 & -i & 0 i & 0 & 0 0 & 0 & 1 , :
0&-ii&0
  1. Note que é bloco lambda+ = +tfrachbar2, lambda- = -tfrachbar2 na subespaço 0&-ii&0 e um 1 isolado.
  2. Equação característica no bloco: matriz tem autovalores . Multiplicando por
  1. No terceiro nível sobra .
  2. Autovetores do bloco :
    • Para : (verifica ).
      Normalizado: .
    • Para : , normalizado: .
  3. No nível isolado o autovetor é com .

Passo 4

Resolvendo B=hbar2 0 & 0 & 1 0 & 0 & -i 1 & i & 0 equiv hbar2,M :
lambda0 = 0,, lambda+ = +tfrachbar2raiz2,, lambda- = -tfrachbar2raiz2
  1. Montamos . Dá o polinômio
    .
  2. Soluções: . Então os autovalores de são
  1. Achamos os vetores:
  • Para , , . Escolhendo temos
    , normalizado: .
  • Para , resolvendo
    , normalizado: .
  • Para ,
    , normalizado: .

Resposta

H:
lambda1&=hbaromega, &v1&=(1,0,0)^T, lambda2&=2hbaromega,&v2&=(0,1,0)^T, lambda3&=2hbaromega,&v3&=(0,0,1)^T
S:
lambda+&=+tfrachbar2,&v+&=tfrac1raiz2(1,i,0)^T, lambda-&=-tfrachbar2,&v-&=tfrac1raiz2(1,-i,0)^T, lambda3&=+tfrachbar2,&v3&=(0,0,1)^T
B:
lambda0&=0,&v0&=tfrac1raiz2(-i,1,0)^T, lambda+&=+tfrachbar2raiz2,&v+&=tfrac12(1,-i,raiz2)^T, lambda-&=-tfrachbar2raiz2,&v-&=tfrac12(1,-i,-raiz2)^T

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