O Hamiltoniano para um determinado sistema de três níveis está representado pela seguinte matriz:
Dois outros observáveis, H=hbar omega(lll 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 2 ) e S, estão representados pelas matrizes
em que B são números reais positivos.
Suponha que o sistema seja indicado no estado genérico
S=hbar2(ccc 0 & -i & 0 i & 0 & 0 0 & 0 & 1 ), B=hbar2(ccc 0 & 0 & 1 0 & 0 & -i 1 & i & 0 )
com E1, E2, A, hbar. Descubra os valores esperados de |psi(0)rang<==(l c1 c2 c3 ) e |c1|^2+|c2|^2+|c3|^2=1.

Passo 1

Beleza, vamos começar. O exercício diz que temos um sistema quântico de três níveis descrito por três matrizes (Hamiltoniano |psi(0)rang<= = c1c2c3, |c1|^2+|c2|^2+|c3|^2=1 , observável e observável ), e um estado genérico
O que a gente precisa calcular são os valores esperados (expectation values)
, e nesse estado.
Conteúdo envolvido: mecânica quântica básica (operadores hermitianos, produto interno e valor esperado).

Passo 2

Valor esperado de lang<= Hrang<= = lang<=psi|H|psirang<= = sumi,j!ci^*,Hij,cj .
Por definição, para um operador hermitiano H = hbaromega 1&0&00&2&00&0&2 e estado normalizado,
lang<= Hrang<= = hbaromega(1cdot|c1|^2 + 2cdot|c2|^2 + 2cdot|c3|^2)
Aqui
Logo só há termos diagonais:

Passo 3

Valor esperado de lang<= Srang<= = lang<=psi|S|psirang<=, S = hbar2 0 & -i & 0 i & 0 & 0 0 & 0 & 1 .
A mesma ideia:
lang<=psi|S|psirang<= = hbar2sumi,jci^*,Mij,cj,
Escrevendo o produto:
lang<=psi|M|psirang<= &= c1^*(-i)c2 + c2^*(i)c1 + c3^*(1)c3 &= -i,c1^*c2 + i,c2^*c1 + |c3|^2 = i,(c2^*c1 - c1^*c2) + |c3|^2
onde lang<=psi|M|psirang<= = icdot2i,Im(c2^*c1)+|c3|^2 = -2,Im(c2^*c1)+|c3|^2 é a matriz dentro de lang<= Srang<= = hbar2[-2,Im(c2^*c1) + |c3|^2] = -hbar,Im(c2^*c1) + hbar2|c3|^2 . Só , e são não nulos.
Então
Repare que , então
Multiplicando por ,

Passo 4

Valor esperado de lang<= Brang<= = lang<=psi|B|psirang<=, B=hbar2 0&0&1 0&0&-i 1&i&0 .
Novamente,
lang<=psi|N|psirang<= &= c1^*,c3 + c3^*,c1 + c2^*(-i)c3 + c3^*(i)c2 &= 2Re(c1^*c3) + 2Im(c3^*c2)
Chamando de lang<= Brang<= = hbar2[2Re(c1^*c3) + 2Im(c3^*c2)] = hbar[Re(c1^*c3) + Im(c3^*c2)] a matriz dentro de , só , , , valem. Logo
Multiplicando por ,

Resposta

Portanto, para o estado boxed lang<= Hrang<= &= hbaromegal(|c1|^2 + 2|c2|^2 + 2|c3|^2r),[6pt] lang<= Srang<= &= -hbar,Im(c2^*c1) ;+;tfrachbar2|c3|^2,[6pt] lang<= Brang<= &= hbarl[Re(c1^*c3)+Im(c3^*c2)r] normalizado, temos

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