O Hamiltoniano para um determinado sistema de três níveis está representado pela seguinte matriz:
Dois outros observáveis, e , estão representados pelas matrizes
em que são números reais positivos.
Suponha que o sistema seja indicado no estado genérico
com . Descubra os valores esperados de e .
Passo 1
Beleza, vamos começar. O exercício diz que temos um sistema quântico de três níveis descrito por três matrizes (Hamiltoniano , observável e observável ), e um estado genérico
O que a gente precisa calcular são os valores esperados (expectation values) , e nesse estado.
Conteúdo envolvido: mecânica quântica básica (operadores hermitianos, produto interno e valor esperado).
Passo 2
Valor esperado de lang<= Hrang<= = lang<=psi|H|psirang<= = sumi,j!ci^*,Hij,cj .
Por definição, para um operador hermitiano H = hbaromega 1&0&00&2&00&0&2 e estado normalizado,
onde lang<=psi|M|psirang<= = icdot2i,Im(c2^*c1)+|c3|^2 = -2,Im(c2^*c1)+|c3|^2 é a matriz dentro de lang<= Srang<= = hbar2[-2,Im(c2^*c1) + |c3|^2] = -hbar,Im(c2^*c1) + hbar2|c3|^2 . Só , e são não nulos.
Então
Repare que , então
Multiplicando por ,
Passo 4
Valor esperado de lang<= Brang<= = lang<=psi|B|psirang<=, B=hbar2 0&0&1 0&0&-i 1&i&0 .
Novamente,