Harmônicos “triplen” e caminho de retorno
Uma carga não linear trifásica em 127 / 220 \mathrm{~V} (ligação Y com neutro) injeta 3^{\mathrm{a}} harmônica de 15 A em cada fase (fundamental equilibrada).
(a) Determine a corrente no neutro devida à 3^{\mathrm{a}} harmônica.
(b) Se o conjunto for ligado em \Delta (mesma tensão de linha), descreva o destino dessa 3^{\mathrm{a}} harmônica e como ela aparece (ou não) na linha.
(c) Comente o impacto de bancos de capacitores (em \Delta ou Y ) sobre a circulação dessas harmônicas.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (resumindo exatamente o que o problema pede):
  • Uma carga não linear trifásica está conectada em estrela com neutro (ligação Y com neutro) com tensões nominais 127/220\\ \mathrm{V}.
  • Cada fase injeta a harmônica de ordem 3 (3ª harmônica) com corrente de 15\\ \mathrm{A}. O componente fundamental está equilibrado.
  • Perguntas:
    (a) Determinar a corrente no neutro devida à 3ª harmônica.
    (b) Se o mesmo conjunto for ligado em \Delta (mesma tensão de linha), descrever para onde vai essa 3ª harmônica e se/como ela aparece nas linhas.
    (c) Comentar o impacto de bancos de capacitores (ligados em \Delta ou em Y) sobre a circulação dessas harmônicas.
Dados relevantes listados:
  • Corrente por fase, 3ª harmônica: \,I_{3,\text{fase}} = 15\\ \mathrm{A}.
  • Harmônica considerada: ordem h=3 (triplen).
  • Conexões: Y com neutro (caso inicial), depois \Delta.
  • Assumimos sistema trifásico balanceado no fundamental; neutral e transformadores podem ser ideais salvo observação em contrário.

Passo 2

Entendendo o que é importante sobre harmônicos triplen (explicação didática, sem pular etapas):
  • Harmônicas são componentes senoidais com frequência múltipla do fundamental. Se a frequência fundamental for f, a 3ª harmônica tem frequência 3f.
  • Ordem h da harmônica multiplica a defasagem entre fases: no sistema trifásico as fases fundamentais estão defasadas de 120^\circ. Portanto, a defasagem entre as mesmas harmônicas em fases diferentes é
\text{defasagem}_h = h \times 120^\circ.
  • Para h=3 temos
\text{defasagem}_3 = 3 \times 120^\circ = 360^\circ,
o que é equivalente a 0^\circ. Ou seja: os componentes de 3ª harmônica nas três fases estão em fase entre si (têm a mesma fase). Isso é o que chamamos de componente de sequência zerada (zero-sequence): todos os três são iguais.
  • Consequência prática: quando três correntes iguais e em fase chegam em um nó trifásico com neutro, a soma algebraica será simplesmente a soma aritmética das três correntes. Essa soma é a corrente que circulará pelo neutro (se houver caminho por ele).

Passo 3

Aplicando o conceito ao caso Y com neutro — cálculo passo a passo da corrente de neutro para a 3ª harmônica:
  • Em cada fase há \,I_{3,\text{fase}} = 15\\ \mathrm{A} na 3ª harmônica e, por ser triplen, os três vetores (fase A, B e C, 3ª harmônica) estão em fase entre si.
  • A corrente no neutro devido a componentes que somam algebraicamente é a soma das correntes de fase (somando vetorialmente, mas aqui todos têm mesma fase, então soma escalar):
I_{N,3} = I_{A,3} + I_{B,3} + I_{C,3}.
  • Substituindo I_{A,3}=I_{B,3}=I_{C,3}=15\\ \mathrm{A}:
I_{N,3} = 15 + 15 + 15 = 45\\ \mathrm{A}.
  • Interpretação: o neutro terá \,45\\ \mathrm{A} na frequência da 3ª harmônica (ou seja, componente de corrente de 3f). Note que isso é independente do equilíbrio no fundamental: a 3ª harmônica forma um conjunto zero-sequence que retorna pelo neutro.

Passo 4

Explicação física adicional sobre (a) — por que é três vezes: exemplo numérico simples e observação prática
  • Imagine três sinais senoidais idênticos (mesma amplitude, mesma fase). A soma ponto a ponto dá três vezes a amplitude de cada uma. Por isso a corrente do neutro fica triplicada.
  • Observação prática: na realidade a impedância do caminho de retorno (impedância do neutro, transformador, etc.) vai limitar a magnitude observada; aqui estamos calculando o valor injetado supondo que o neutro fornece o caminho de retorno sem atenuação. Em instalações reais um neutro com impedância não nula pode reduzir (ou permitir ressonância e até amplificar) esse valor. Então, sempre dimensionar neutro para correntes harmônicas.

Passo 5

Resposta didática para (b): o que acontece se a carga (mesma não linear) for ligada em \Delta
  • Característica da ligação \Delta: as três bobinas (ou cargas) ficam conectadas em anel. Não existe ponto neutro externo; as correntes de cada espira podem circular internamente.
  • Suponha que cada ramo do delta injete uma corrente de 3ª harmônica com mesma amplitude e mesma fase relativa (propriedade do triplen). Denotemos as correntes nas espiras do delta por I_{ab}, I_{bc}, I_{ca}, todas iguais a I_3=15\\ \mathrm{A} e em fase.
  • A corrente na linha a que sai para o sistema é a diferença entre a corrente do ramo ab e do ramo ca:
I_a = I_{ab} - I_{ca}.
  • Se I_{ab}=I_{bc}=I_{ca}=I_3 (mesma magnitude e fase), então
I_a = I_3 - I_3 = 0.
O mesmo ocorre para I_b e I_c. Logo, as componentes de 3ª harmônica não aparecem nas correntes de linha externas: elas se anulam nas três linhas porque estão circulando internamente no anel.
  • Conclusão simples e intuitiva: na conexão \Delta a 3ª harmônica é “presa” e circula dentro do triângulo \Delta — forma uma corrente circulante fechada — e não flui para o sistema (linhas/transformador) em condições ideais. Assim, as linhas externas não veem essa 3ª harmônica (a menos que haja assimetrias, fuga, saturação ou outros caminhos).
  • Efeito prático: o delta protege a fonte/transformador upstream de receber essas correntes triplen, mas isso gera circulação interna no delta com possível aquecimento das bobinas ou equipamentos conectados no delta.

Passo 6

Resposta didática para (c): impacto de bancos de capacitores (em \Delta ou em Y) sobre a circulação das harmônicas
  • Primeiro, comportamento em frequência dos capacitores:
    • Reatância capacitiva é X_C = \frac{1}{2\pi f C}.
    • Como f aumenta (por exemplo para a 3ª harmônica 3f), |X_C| diminui (capacitor oferece menor impedância a frequências mais altas). Portanto, capacitores tendem a oferecer caminho preferencial para correntes harmônicas.
  • Caso banco em Y (com neutro disponível):
    • Cada fase do banco Y está referenciada ao neutro. Assim, componentes triplen que são em fase nas três fases encontrarão caminho direto ao neutro através dos capacitores fase–neutro.
    • Isso significa que um banco de capacitores em Y pode aumentar a circulação de correntes triplen pelo neutro (aumentando I_{N,3}), porque os capacitores fornecem um caminho de baixa impedância para a 3ª harmônica em cada fase. Assim o neutro pode ver correntes harmônicas ainda maiores — risco de sobrecorrente no neutro.
  • Caso banco em \Delta:
    • Um banco em \Delta fornece um caminho fechado entre fases. Triplen que tendem a ser zero-sequence não conseguem sair para o sistema; em vez disso, eles podem simplesmente circular no triângulo do banco de capacitores ou entre banco e cargas delta. Assim, o delta permite que correntes triplen circulem internamente e não cheguem ao neutro ou à rede.
    • Consequência: o delta pode “travar” triplen internamente (sem aparecer nas linhas), mas isso pode provocar grandes correntes circulantes no próprio banco \Delta — possível aquecimento e sobrecarga nos capacitores e conexões.
  • Risco de ressonância:
    • Bancos de capacitores introduzem capacitância que pode ressoar com a indutância da rede (reatância indutiva X_L = 2\pi f L) em alguma frequência harmônica h f. Se houver ressonância próxima à 3ª (ou outra), as correntes harmônicas podem ser amplificadas muito além dos valores esperados.
    • Por isso, em projeto prático costuma-se usar bancos “desafinados” (detuned) ou filtros passivos/tunados que evitam que a ressonância ocorra em ordens problemáticas (por exemplo usar um filtro sintonizado em 5ª ou 7ª, ou usar reatância de detunagem).
  • Resumo prático:
    • Banco Y com neutro ativo: tende a deixar os triplen voltarem pelo neutro — aumento de corrente no neutro.
    • Banco \Delta: tende a promover circulação interna (evita que triplen apareçam nas linhas), mas causa circulação e perdas internas no próprio banco/transformador.
    • Em ambos os casos, cuidado com ressonâncias e dimensionamento (K-rated transformers, condutores de neutro dimensionados, filtros harmônicos) é essencial.

Resposta

(a) 45\\ \mathrm{A} (corrente no neutro na frequência da 3ª harmônica).
(b) Na ligação em \Delta a 3ª harmônica circula internamente no triângulo ( \Delta) e, em condições ideais, não aparece nas correntes das linhas externas (linhas veem praticamente zero dessa componente).
(c) Bancos em Y com neutro oferecem caminho para os triplens retornarem pelo neutro (aumentam corrente de neutro); bancos em \Delta tendem a fazer os triplens circularem internamente ao delta (evitam que cheguem às linhas, mas podem causar circulação excessiva e aquecimento no banco); além disso, capacitores podem causar ressonâncias com a rede amplificando harmônicas se não forem devidamente projetados.

Exercícios relacionados