A barra está submetida a uma carga axial distribuída uniforme de 10 \mathrm{kN} / \mathrm{m} e a uma força concentrada de 1,5 \mathrm{kN} em seu ponto médio. Determinar a tensão normal média máxima na barra e sua localização x.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
  • Informações fornecidas:
    • Há uma carga axial distribuída uniforme de intensidade 10\\ \mathrm{kN/m} aplicada ao longo de toda a barra.
    • Há uma força concentrada de 1,5\\ \mathrm{kN} aplicada no ponto médio da barra.
    • Não foram fornecidos na pergunta o comprimento L da barra nem a área da seção transversal A — portanto vamos obter a expressão da tensão máxima em termos de L e A.
  • O que é pedido:
    1. Determinar a tensão normal média máxima na barra (valor numérico em função de L e A).
    2. Determinar a posição x ao longo da barra onde essa tensão máxima ocorre.

Passo 2

Escolha de coordenada e convenção de sinais (muito importante e simples):
  • Tome a coordenada x começando em x=0 na extremidade esquerda e indo até x=L na extremidade direita.
  • Para facilitar a leitura, vamos trabalhar com as magnitudes das forças axiais comprimidas (ou seja, considerar a resultante compressiva acumulada ao longo da barra). Se preferir sinalizar tensão compressiva como negativa, basta inserir o sinal ao final; aqui usamos magnitude positiva para comprimir.
Explicação curta do que vamos usar: a tensão média normal em uma seção é a força axial resultante naquela seção dividida pela área da seção:
\sigma(x)=\frac{N(x)}{A},
onde N(x) é a força axial resultante (magnitude) que atua em uma seção a uma distância x da extremidade esquerda e A é a área da seção (em \mathrm{m}^2). Para uma carga distribuída uniforme de intensidade w (em \mathrm{kN/m}), o resultado sobre um trecho de comprimento x é simplesmente w x (em \mathrm{kN}).

Passo 3

Calcule a força axial resultante N(x) como função de x. Como temos uma carga distribuída uniforme w=10\\ \mathrm{kN/m} ao longo de toda a barra e uma força pontual P=1{,}5\\ \mathrm{kN} em x=L/2, a força axial acumulada (magnitude compressiva) para uma seção localizada a uma distância x da extremidade esquerda é:
  • Para 0 \le x < L/2: a seção ainda não “pegou” a força concentrada, só tem o efeito da distribuição sobre o trecho [0,x]. Assim
N(x)=w\,x.
  • Para L/2 < x \le L: a seção está à direita do ponto de aplicação da força concentrada, logo a resultante acumulada é a soma da contribuição da distribuição sobre [0,x] mais a força pontual:
N(x)=w\,x + P.
Observação didática: a contribuição da carga distribuída é w multiplicado pelo comprimento considerado ( x). A força pontual entra apenas quando a seção está à direita do ponto onde a força é aplicada, gerando um salto (discontinuidade) em N(x) de magnitude P ao atravessar x=L/2.

Passo 4

Substitua os valores numéricos de w\) e \(P\). Temos \(w=10\\ \mathrm{kN/m}\) e \(P=1{,}5\\ \mathrm{kN}\). Então \[\begin{cases} N(x)=10\,x, & 0\le x < L/2,\\[6pt] N(x)=10\,x + 1{,}5, & L/2 < x \le L. \end{cases}
Unidades: x\] em metros dá \(N(x) em \mathrm{kN}.]

Passo 5

Determine onde N(x) (e, portanto, \sigma(x)) é máxima.
  • Em cada ramo N(x) é uma função linear crescente com x (coeficiente angular 10, positivo), então dentro de cada intervalo N(x) cresce quando x aumenta.
  • Ao atravessar x=L/2 há um salto positivo de 1{,}5\\ \mathrm{kN} (a força concentrada), que aumenta ainda mais o valor de N imediatamente à direita do ponto médio.
    Portanto a maior magnitude de N(x) ocorre na extremidade direita x=L.
Calcule N_{\max}=N(L):
N_{\max}=10\,L + 1{,}5\quad(\mathrm{kN}).

Passo 6

Calcule a tensão média normal máxima dividindo N_{\max} pela área A. Se A estiver em \mathrm{m}^2, o resultado ficará em \mathrm{kN/m^2} (que corresponde a 10^3\\ \mathrm{Pa} por unidade). Para obter em \mathrm{Pa} (N/m^2) multiplique o numerador por 10^3.
Assim a tensão máxima (magnitude) é
\sigma_{\max}=\frac{N_{\max}}{A}=\frac{10\,L + 1{,}5}{A}\quad\text{(com \(N\) em kN e \(A\) em m}^2\text{)}.
Se quiser em \mathrm{Pa} (N/m^2):
\sigma_{\max}=\frac{(10\,L + 1{,}5)\times 10^3}{A}\quad(\mathrm{Pa}).

Passo 7

Interpretação e dica prática para a prova (resumo didático e como aplicar rápido):
  • Modele o segmento à esquerda da seção e some as forças axiais (a resultante da carga distribuída sobre o comprimento considerado é sempre w x; some a força pontual apenas quando a seção estiver à direita do ponto onde ela atua).
  • A tensão média é sempre N/A. Para localizar o máximo, olhe para a variação de N com x: se o termo linear em x tem coeficiente positivo, N cresce com x; se há uma força pontual que soma quando você passa por ela, ela só aumenta mais o valor. Assim normalmente o máximo estará em uma extremidade (aqui na extremidade direita).
  • Se o enunciado te desse valores numéricos para L e A, é só substituir em \sigma_{\max}=\dfrac{10L+1{,}5}{A} (lembrando de ajustar unidades).

Resposta

\displaystyle \sigma_{\max}=\frac{10\,L+1{,}5}{A} (se A em \mathrm{m}^2, unidade em \mathrm{kN/m^2}; multiplicar por 10^3 para obter \mathrm{Pa}).
\displaystyle x_{\text{onde }\sigma_{\max}\text{ ocorre}}=L

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