1. Uma haste isolante uniformemente carregada de comprimento 14,0 \mathrm{~cm} tem a forma de um semicírculo. A haste tem uma carga total de -7,50 \mu \mathrm{C}. Encontre a magnitude, direção e sentido do campo elétrico em O, o centro do semicírculo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos.
  • O que pedem: encontrar a magnitude, a direção e o sentido do campo elétrico no ponto O, que é o centro do semicírculo carregado.
  • Dados do enunciado:
    • comprimento da haste (arc length): L=14{,}0\\ \mathrm{cm}.
    • carga total: Q=-7{,}50\\ \mu\mathrm{C}.
    • a haste tem a forma de um semicírculo e O é o centro geométrico desse semicírculo (isso está indicado no enunciado e na figura).
  • Observação importante sobre as unidades (convertendo para o SI):
    • L=14{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}140\\ \mathrm{m}.
    • Q=-7{,}50\\ \mu\mathrm{C}=-7{,}50\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • Resultado que vamos apresentar no final: a magnitude |\mathbf{E}| em \mathrm{N/C}, a direção (reta sobre a qual o campo atua) e o sentido (para onde aponta o vetor \mathbf{E}).

Passo 2

Relembrando a teoria que vamos usar — Coulomb para distribuição linear:
  • Para uma carga pontual q a uma distância r o campo é dado por
\mathbf{E}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q}{r^2}\hat r,
onde \hat r é o versor do ponto fonte até o ponto onde se calcula o campo.
  • Para uma distribuição contínua linear de carga com densidade linear \lambda, dividimos a distribuição em elementos de carga dq=\lambda\,ds (onde ds é um elemento de comprimento), calculamos o campo diferencial d\mathbf{E} produzido por dq e integramos sobre toda a haste:
d\mathbf{E}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{dq}{R^2}\hat r,
onde R é a distância do elemento dq até o ponto O. No nosso caso R é constante (é o raio do semicírculo), o que facilita muito a integração.

Passo 3

Geometria e escolha de coordenadas (muito importante):
  • Coloco o ponto O na origem do sistema de coordenadas (0,0).
  • A haste é um semicírculo de raio R, centrado em O. O comprimento do semicírculo satisfaz
L=\pi R.
  • Vamos parametrizar o semicírculo por um ângulo \theta. Tomamos \theta variando de \pi/2 até 3\pi/2 (isto corresponde ao semicírculo que está ao lado esquerdo do centro — conforme a figura: o semicírculo ocupa a região à esquerda de O). Assim um ponto da haste tem posição
\mathbf{r}'=R(\cos\theta,\\ \sin\theta).
  • A densidade linear é uniforme: \lambda=\dfrac{Q}{L}.
  • Um elemento de carga é dq=\lambda\,ds=\lambda R\,d\theta.

Passo 4

Expressão do campo diferencial no centro O:
  • A distância do elemento dq até O é R (constante).
  • O vetor do elemento para o ponto O é \mathbf{r}-\mathbf{r}'=-\mathbf{r}'=-R(\cos\theta,\sin\theta). Portanto o versor apontando de dq para O é -(\cos\theta,\sin\theta).
  • Usando Coulomb:
d\mathbf{E}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{dq}{R^2}\big(-\cos\theta,\\\ -\sin\theta\big).
  • Substituindo dq=\lambda R\,d\theta:
d\mathbf{E}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{\lambda R\,d\theta}{R^2}\big(-\cos\theta,\\\ -\sin\theta\big) =\dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R}\big(-\cos\theta,\\\ -\sin\theta\big)d\theta.

Passo 5

Componentes do campo e simetrias:
  • Escrevo as componentes dE_x e dE_y:
dE_x=-\dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R}\cos\theta\,d\theta, \qquad dE_y=-\dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R}\sin\theta\,d\theta.
  • Integro ao longo do semicírculo: \theta de \pi/2 até 3\pi/2.
  • Porque a distribuição é simétrica em relação ao eixo horizontal (e os elementos acima e abaixo do eixo se cancelam verticalmente), o componente E_y será zero:
E_y=-\dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R}\int_{\pi/2}^{3\pi/2}\sin\theta\,d\theta=0,
já que \int_{\pi/2}^{3\pi/2}\sin\theta\,d\theta=\big[-\cos\theta\big]_{\pi/2}^{3\pi/2}=0.
  • O componente E_x fica:
E_x=-\dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R}\int_{\pi/2}^{3\pi/2}\cos\theta\,d\theta.

Passo 6

Calculo da integral para E_x:
\int_{\pi/2}^{3\pi/2}\cos\theta\,d\theta=\big[\sin\theta\big]_{\pi/2}^{3\pi/2}=\sin(3\pi/2)-\sin(\pi/2)=-1-1=-2.
Assim
E_x=-\dfrac{\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R}(-2)=\dfrac{2\lambda}{4\pi\varepsilon_0 R}.
Simplificando:
E_x=\dfrac{1}{2\pi\varepsilon_0}\dfrac{\lambda}{R}.

Passo 7

Expressão em termos de Q e R:
  • Lembrando que \lambda=\dfrac{Q}{L}=\dfrac{Q}{\pi R}, substituo na expressão de E_x:
E_x=\dfrac{1}{2\pi\varepsilon_0}\dfrac{1}{R}\cdot\dfrac{Q}{\pi R} =\dfrac{Q}{2\pi^2\varepsilon_0 R^2}.
  • Outra forma usual (usando k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}) é:
E_x=\dfrac{2kQ}{\pi R^2}.
  • O módulo do campo é |\mathbf{E}|=|E_x|, já que E_y=0.

Passo 8

Calcular o raio R a partir do comprimento L:
L=\pi R \quad\Rightarrow\quad R=\dfrac{L}{\pi}=\dfrac{0{,}140\\ \mathrm{m}}{\pi}=0{,}044557\\ \mathrm{m}\\ (\text{aprox.}).

Passo 9

Substituição numérica e conta passo a passo:
  • Constante eletrostática: k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}=8{,}988\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}.
  • Módulo da carga: |Q|=7{,}50\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • Usando \displaystyle |\mathbf{E}|=\dfrac{2k|Q|}{\pi R^2}, calculo R^2:
R^2=(0{,}044557)^2\approx0{,}001985\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Calculo do numerador:
2k|Q|=2\times(8{,}988\times10^{9})\times(7{,}50\times10^{-6})\approx1{,}3482\times10^{5}.
(Unidades: \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}\cdot C}=\mathrm{N\,m^{2}/C}.)
  • Calculo do denominador:
\pi R^2\approx3{,}14159\times0{,}001985\approx0{,}006238.
  • Dividindo:
|\mathbf{E}|\approx\dfrac{1{,}3482\times10^{5}}{0{,}006238}\approx2{,}16\times10^{7}\\ \mathrm{N/C}.
(Arredondado com três algarismos significativos.)

Passo 10

Interpretação do sinal, direção e sentido:
  • Na expressão analítica E_x=\dfrac{2kQ}{\pi R^2} aparece Q. Aqui Q é negativo ( Q=-7{,}50\\ \mu\mathrm{C}), logo E_x será negativo: o vetor campo aponta no sentido negativo do eixo x.
  • Pelo desenho (haste à esquerda de O) o eixo x positivo aponta para a direita; E_x<0 significa que o campo aponta para a esquerda, isto é, em direção à haste carregada.
  • Fazendo a leitura física: cargas negativas atraem linhas de campo; no centro O o campo aponta em direção à distribuição carregada (para a esquerda).

Resposta

|\mathbf{E}|=2{,}16\times10^{7}\\ \mathrm{N/C}
Direção: ao longo do eixo horizontal (reta que liga o centro ao semicírculo).
Sentido: para a esquerda, isto é, em direção ao semicírculo (para a haste carregada, pois Q é negativa).

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