- Uma haste isolante uniformemente carregada de comprimento
tem a forma de um semicírculo. A haste tem uma carga total de
. Encontre a magnitude, direção e sentido do campo elétrico em
, o centro do semicírculo.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados fornecidos.
- O que pedem: encontrar a magnitude, a direção e o sentido do campo elétrico no ponto
, que é o centro do semicírculo carregado. - Dados do enunciado:
- comprimento da haste (arc length):
. - carga total:
. - a haste tem a forma de um semicírculo e
é o centro geométrico desse semicírculo (isso está indicado no enunciado e na figura).
- comprimento da haste (arc length):
- Observação importante sobre as unidades (convertendo para o SI):
-
. -
.
-
- Resultado que vamos apresentar no final: a magnitude
em , a direção (reta sobre a qual o campo atua) e o sentido (para onde aponta o vetor ).
Passo 2
Relembrando a teoria que vamos usar — Coulomb para distribuição linear:
- Para uma carga pontual
a uma distância o campo é dado por
onde
é o versor do ponto fonte até o ponto onde se calcula o campo.
- Para uma distribuição contínua linear de carga com densidade linear
, dividimos a distribuição em elementos de carga (onde é um elemento de comprimento), calculamos o campo diferencial produzido por e integramos sobre toda a haste:
onde
é a distância do elemento
até o ponto
. No nosso caso
é constante (é o raio do semicírculo), o que facilita muito a integração.
Passo 3
Geometria e escolha de coordenadas (muito importante):
- Coloco o ponto
na origem do sistema de coordenadas . - A haste é um semicírculo de raio
, centrado em . O comprimento do semicírculo satisfaz
- Vamos parametrizar o semicírculo por um ângulo
. Tomamos variando de até (isto corresponde ao semicírculo que está ao lado esquerdo do centro — conforme a figura: o semicírculo ocupa a região à esquerda de ). Assim um ponto da haste tem posição
- A densidade linear é uniforme:
. - Um elemento de carga é
.
Passo 4
Expressão do campo diferencial no centro
:
- A distância do elemento
até é (constante). - O vetor do elemento para o ponto
é . Portanto o versor apontando de para é . - Usando Coulomb:
- Substituindo
:
Passo 5
Componentes do campo e simetrias:
- Escrevo as componentes
e :
- Integro ao longo do semicírculo:
de até . - Porque a distribuição é simétrica em relação ao eixo horizontal (e os elementos acima e abaixo do eixo se cancelam verticalmente), o componente
será zero:
já que
.
- O componente
fica:
Passo 6
Calculo da integral para
:
Assim
Simplificando:
Passo 7
Expressão em termos de
e
:
- Lembrando que
, substituo na expressão de :
- Outra forma usual (usando
) é:
- O módulo do campo é
, já que .
Passo 8
Calcular o raio
a partir do comprimento
:
Passo 9
Substituição numérica e conta passo a passo:
- Constante eletrostática:
. - Módulo da carga:
. - Usando
, calculo :
- Calculo do numerador:
(Unidades:
.)
- Calculo do denominador:
- Dividindo:
(Arredondado com três algarismos significativos.)
Passo 10
Interpretação do sinal, direção e sentido:
- Na expressão analítica
aparece . Aqui é negativo ( ), logo será negativo: o vetor campo aponta no sentido negativo do eixo . - Pelo desenho (haste à esquerda de
) o eixo positivo aponta para a direita; significa que o campo aponta para a esquerda, isto é, em direção à haste carregada. - Fazendo a leitura física: cargas negativas atraem linhas de campo; no centro
o campo aponta em direção à distribuição carregada (para a esquerda).
Resposta
Direção: ao longo do eixo horizontal (reta que liga o centro ao semicírculo).
Sentido: para a esquerda, isto é, em direção ao semicírculo (para a haste carregada, pois