Questão 3 (2,0 pontos)
Uma corda de comprimento total 3,0 \mathrm{~m} e massa 12,0 \mathrm{~g} está esticada horizontalmente sob uma tração de 48 N . Um oscilador produz na corda uma onda transversal senoidal de amplitude 4,0 \mathrm{~mm} e frequência 80 Hz , propagando-se no sentido positivo do eixo x.
Determine:
f) a velocidade transversal máxima de um ponto da corda.

Passo 1

O que o problema pede e os dados fornecidos:
  • Pergunta: determinar a velocidade transversal máxima de um ponto da corda.
  • Dados do enunciado:
    • comprimento total da corda 3,0\\ \mathrm{m} (não será necessário aqui);
    • massa total da corda 12,0\\ \mathrm{g} (não será necessário aqui);
    • tração 48\\ \mathrm{N} (não será necessário aqui para esta parte);
    • amplitude da onda A=4,0\\ \mathrm{mm};
    • frequência da onda f=80\\ \mathrm{Hz};
    • a onda é senoidal e se propaga no sentido positivo de x.

Passo 2

Modelo matemático e definição da velocidade transversal:
  • Uma onda transversal senoidal que se propaga em +x pode ser descrita por
y(x,t)=A\sin\bigl(kx-\omega t\bigr),
onde:
  • y(x,t) é o deslocamento vertical do ponto de abscissa x no instante t;
  • A é a amplitude (valor máximo de |y|);
  • k é o número de onda (relacionado a \lambda);
  • \omega é a frequência angular, em \mathrm{rad/s}.
  • A velocidade transversal de um ponto fixo x (velocidade vertical instantânea) é a derivada temporal de y:
v_y(x,t)=\frac{\partial y}{\partial t}.

Passo 3

Derivando a função e obtendo a expressão para a velocidade:
  • Derivando \;y(x,t)=A\sin(kx-\omega t)\; em relação a t obtemos
v_y(x,t)=-A\omega\cos\bigl(kx-\omega t\bigr).
  • Assim, a velocidade vertical num dado ponto oscila no tempo entre -A\omega e +A\omega. Portanto, o valor máximo absoluto (a velocidade transversal máxima) é
v_{\text{max}}=A\omega.
Explicação rápida e intuitiva: a derivada de uma senoide de amplitude A e argumento \omega t traz um fator \omega, que multiplica a amplitude, fazendo a velocidade máxima ser A vezes \omega.

Passo 4

Expressar \omega em função de f e calcular numericamente:
  • A frequência angular relaciona-se com a frequência por
\omega=2\pi f.
  • Substituindo f=80\\ \mathrm{Hz}:
\omega=2\pi\cdot80=160\pi\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Converter amplitude para metros e calcular v_{\text{max}}:
  • Converter A=4,0\\ \mathrm{mm} para metros:
A=4,0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}=4\cdot10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Calcular
v_{\text{max}}=A\omega = 4\cdot10^{-3}\cdot160\pi = 0,64\pi\\ \mathrm{m/s}.
  • Aproximação numérica:
0,64\pi\approx2,01\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Interpretação final e incentivo:
  • O resultado v_{\text{max}}\approx2,01\\ \mathrm{m/s} é a velocidade vertical máxima que qualquer ponto da corda atinge enquanto vibra. Dá para ver que aumentar a amplitude ou a frequência aumenta essa velocidade (porque v_{\text{max}}=A\cdot2\pi f).
  • Bom trabalho até aqui — a ideia principal para a prova é decorar que a velocidade transversal máxima de uma senoide é A\omega e lembrar que \omega=2\pi f. Você consegue aplicar isso rápido na hora!

Resposta

2,01\\ \mathrm{m/s}

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