Questão 3 (2,0 pontos)
Uma corda de comprimento total
e massa
está esticada horizontalmente sob uma tração de 48 N . Um oscilador produz na corda uma onda transversal senoidal de amplitude
e frequência 80 Hz , propagando-se no sentido positivo do eixo
.
Determine:
f) a velocidade transversal máxima de um ponto da corda.
Uma corda de comprimento total
Passo 1
O que o problema pede e os dados fornecidos:
- Pergunta: determinar a velocidade transversal máxima de um ponto da corda.
- Dados do enunciado:
- comprimento total da corda
(não será necessário aqui); - massa total da corda
(não será necessário aqui); - tração
(não será necessário aqui para esta parte); - amplitude da onda
; - frequência da onda
; - a onda é senoidal e se propaga no sentido positivo de
.
- comprimento total da corda
Passo 2
Modelo matemático e definição da velocidade transversal:
- Uma onda transversal senoidal que se propaga em
pode ser descrita por
onde:
-
é o deslocamento vertical do ponto de abscissa no instante ; -
é a amplitude (valor máximo de ); -
é o número de onda (relacionado a ); -
é a frequência angular, em . - A velocidade transversal de um ponto fixo
(velocidade vertical instantânea) é a derivada temporal de :
Passo 3
Derivando a função e obtendo a expressão para a velocidade:
- Derivando
em relação a obtemos
- Assim, a velocidade vertical num dado ponto oscila no tempo entre
e . Portanto, o valor máximo absoluto (a velocidade transversal máxima) é
Explicação rápida e intuitiva: a derivada de uma senoide de amplitude
e argumento
traz um fator
, que multiplica a amplitude, fazendo a velocidade máxima ser
vezes
.
Passo 4
Expressar
em função de
e calcular numericamente:
- A frequência angular relaciona-se com a frequência por
- Substituindo
:
Passo 5
Converter amplitude para metros e calcular
:
- Converter
para metros:
- Calcular
- Aproximação numérica:
Passo 6
Interpretação final e incentivo:
- O resultado
é a velocidade vertical máxima que qualquer ponto da corda atinge enquanto vibra. Dá para ver que aumentar a amplitude ou a frequência aumenta essa velocidade (porque ). - Bom trabalho até aqui — a ideia principal para a prova é decorar que a velocidade transversal máxima de uma senoide é
e lembrar que . Você consegue aplicar isso rápido na hora!