Questão 3 (2,0 pontos)
Uma corda de comprimento total 3,0 \mathrm{~m} e massa 12,0 \mathrm{~g} está esticada horizontalmente sob uma tração de 48 N . Um oscilador produz na corda uma onda transversal senoidal de amplitude 4,0 \mathrm{~mm} e frequência 80 Hz , propagando-se no sentido positivo do eixo x.
Determine:
e) uma possível equação para a onda, na forma
y(x, t)=y_{m} \sin (k x-\omega t) ;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (peguei a informação sobre a direção de propagação da imagem).
  • Dados numéricos:
    • comprimento total da corda: L=3{,}0\\ \mathrm{m};
    • massa da corda: m=12{,}0\\ \mathrm{g}=0{,}012\\ \mathrm{kg};
    • tração (tensão) na corda: T=48\\ \mathrm{N};
    • amplitude da onda: y_{m}=4{,}0\\ \mathrm{mm}=0{,}004\\ \mathrm{m};
    • frequência da onda: f=80\\ \mathrm{Hz}.
  • Informação da imagem (que eu usei): a onda se propaga no sentido positivo do eixo x (seta para a direita) e o comprimento de onda é indicado por \lambda no desenho.
  • O que a questão pede:
    • (e) escrever uma possível equação para a onda na forma y(x,t)=y_{m}\sin(kx-\omega t).
    Ou seja, determinar k (número de onda) e \omega (frequência angular) compatíveis com os dados e com a direção de propagação indicada.

Passo 2

Calcular a massa linear (densidade linear) da corda e explicar por que precisamos disso.
  • Definição e por que usar: a densidade linear \mu é a massa por unidade de comprimento da corda; ela aparece na fórmula da velocidade de propagação de ondas transversais numa corda tensionada: v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}.
  • Cálculo de \mu:
\mu=\dfrac{m}{L}=\dfrac{0{,}012\\ \mathrm{kg}}{3{,}0\\ \mathrm{m}}=0{,}004\\ \mathrm{kg/m}.
Comentários didáticos: imaginar \mu é simples — é quanto de massa existe em cada metro da corda; quanto maior \mu (corda mais pesada por metro), mais lenta a onda, para uma mesma tensão.

Passo 3

Calcular a velocidade de propagação v usando a fórmula física e explicar a origem dessa fórmula.
  • Fórmula: para pequenas oscilações transversais numa corda homogênea sob tensão T e com densidade linear \mu, a velocidade de onda é v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}.
Breve explicação intuitiva: a tensão tende a “puxar” a perturbação rapidamente (aumenta v), enquanto massa por comprimento \mu faz inércia (diminui v); a relação vem da equação de onda linearizada.
  • Substituindo valores:
\dfrac{T}{\mu}=\dfrac{48}{0{,}004}=12\,000,
v=\sqrt{12\,000}\approx 109{,}54\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Determinar a frequência angular \omega e explicar o significado.
  • Definição: a frequência angular \omega relaciona-se com a frequência temporal f por \omega=2\pi f.
O que significa: \omega é a velocidade angular de variação temporal da fase da onda (medida em rad/s). Em uma senóide no tempo, em um ponto fixo, o argumento \omega t avança a taxa \omega.
  • Cálculo:
\omega=2\pi f=2\pi\cdot80=160\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 502{,}65\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Encontrar o comprimento de onda \lambda e o número de onda k, explicando as relações entre eles.
  • Relação velocidade–frequência–comprimento de onda:
v=f\lambda.
Isto é, a velocidade da onda é a distância que um máximo percorre por segundo; se há f oscilações por segundo, cada uma de comprimento \lambda, então v=f\lambda.
  • Cálculo de \lambda:
\lambda=\dfrac{v}{f}=\dfrac{109{,}54}{80}\approx 1{,}3693\\ \mathrm{m}.
  • Definição do número de onda k: k=\dfrac{2\pi}{\lambda}.
Outra forma equivalente é k=\dfrac{\omega}{v} (porque \omega=2\pi f e v=f\lambda implicam \omega/v=2\pi/\lambda).
  • Cálculo de k (uso \omega/v ou 2\pi/\lambda):
k=\dfrac{\omega}{v}=\dfrac{502{,}65}{109{,}54}\approx 4{,}590\\ \mathrm{rad/m}.

Passo 6

Montar a equação da onda, justificar o sinal na fase e checar unidades.
  • A forma pedida é y(x,t)=y_{m}\sin(kx-\omega t). O sinal negativo em kx-\omega t corresponde a uma onda que se propaga no sentido positivo de x (isto está de acordo com a seta de propagação para a direita na imagem).
  • Substituindo y_{m}, k e \omega obtém-se (valores numéricos aproximados):
y(x,t)=0{,}004\sin\bigl(4{,}590\,x-502{,}65\,t\bigr),
onde y está em metros, x em metros e t em segundos. Cada número dentro do seno tem dimensão adimensional porque k tem unidade \mathrm{rad/m} e \omega tem unidade \mathrm{rad/s}, então kx e \omega t são em radianos.

Resposta

y(x,t)=0{,}004\sin\bigl(4{,}590\,x-502{,}65\,t\bigr)\\ \text{(SI, com }x\\ \text{em m e }t\\ \text{em s)}

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