Questão 3 (2,0 pontos)
Uma corda de comprimento total
e massa
está esticada horizontalmente sob uma tração de 48 N . Um oscilador produz na corda uma onda transversal senoidal de amplitude
e frequência 80 Hz , propagando-se no sentido positivo do eixo
.
Determine:
e) uma possível equação para a onda, na forma
Uma corda de comprimento total
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (peguei a informação sobre a direção de propagação da imagem).
- Dados numéricos:
- comprimento total da corda:
; - massa da corda:
; - tração (tensão) na corda:
; - amplitude da onda:
; - frequência da onda:
.
- comprimento total da corda:
- Informação da imagem (que eu usei): a onda se propaga no sentido positivo do eixo
(seta para a direita) e o comprimento de onda é indicado por no desenho. - O que a questão pede:
- (e) escrever uma possível equação para a onda na forma
(número de onda) e (frequência angular) compatíveis com os dados e com a direção de propagação indicada. - (e) escrever uma possível equação para a onda na forma
Passo 2
Calcular a massa linear (densidade linear) da corda e explicar por que precisamos disso.
- Definição e por que usar: a densidade linear
é a massa por unidade de comprimento da corda; ela aparece na fórmula da velocidade de propagação de ondas transversais numa corda tensionada: - Cálculo de
:
Comentários didáticos: imaginar
é simples — é quanto de massa existe em cada metro da corda; quanto maior
(corda mais pesada por metro), mais lenta a onda, para uma mesma tensão.
Passo 3
Calcular a velocidade de propagação
usando a fórmula física e explicar a origem dessa fórmula.
- Fórmula: para pequenas oscilações transversais numa corda homogênea sob tensão
e com densidade linear , a velocidade de onda é
Breve explicação intuitiva: a tensão tende a “puxar” a perturbação rapidamente (aumenta
), enquanto massa por comprimento
faz inércia (diminui
); a relação vem da equação de onda linearizada.
- Substituindo valores:
Passo 4
Determinar a frequência angular
e explicar o significado.
- Definição: a frequência angular
relaciona-se com a frequência temporal por
O que significa:
é a velocidade angular de variação temporal da fase da onda (medida em rad/s). Em uma senóide no tempo, em um ponto fixo, o argumento
avança a taxa
.
- Cálculo:
Passo 5
Encontrar o comprimento de onda
e o número de onda
, explicando as relações entre eles.
- Relação velocidade–frequência–comprimento de onda:
Isto é, a velocidade da onda é a distância que um máximo percorre por segundo; se há
oscilações por segundo, cada uma de comprimento
, então
.
- Cálculo de
:
- Definição do número de onda
:
Outra forma equivalente é
(porque
e
implicam
).
- Cálculo de
(uso ou ):
Passo 6
Montar a equação da onda, justificar o sinal na fase e checar unidades.
- A forma pedida é
. O sinal negativo em corresponde a uma onda que se propaga no sentido positivo de (isto está de acordo com a seta de propagação para a direita na imagem). - Substituindo
, e obtém-se (valores numéricos aproximados):
onde
está em metros,
em metros e
em segundos. Cada número dentro do seno tem dimensão adimensional porque
tem unidade
e
tem unidade
, então
e
são em radianos.