Inicialmente, uma haste de massa m e comprimento L se move sem rotação em uma superfície sem atrito em uma direção perpendicular à haste. A velocidade da haste é v. No tempo t=0, uma extremidade da haste colide “enrosca” em um objeto fixo A e inicia um movimento de rotação em torno de A. Logo após a colisão, a haste ainda é paralela à posição antes da colisão e o centro da haste ainda se move na mesma direção que antes. Mas a velocidade do centro da haste é reduzida para 3 v / 4.
(a) Encontre a velocidade angular \omega da haste logo após a colisão. (Dica: o momento angular total sobre o ponto
de colisão A é conservado durante a colisão). (b) Encontre a energia cinética total da haste após a colisão. (c) Encontre as velocidades das duas extremidades da haste logo após a colisão.

Passo 1

O enunciado descreve uma haste de massa m e comprimento L que se move, sem girar, com velocidade v perpendicular à própria haste. No instante t=0 uma extremidade “engrenou” num ponto fixo A, de modo que, logo após a colisão, a haste passa a girar em torno de A. É dado que instantaneamente após o choque o centro de massa da haste tem velocidade horizontal reduzida para v_{\rm CM}=3v/4, e o eixo da haste permanece vertical. Como não há força externa com braço em relação a A, conservamos o momento angular em relação a A. Vamos usar:
\bullet Momento de inércia da haste em torno de uma extremidade A:
I_A = \tfrac{1}{3}\,mL^2.
\bullet Velocidade do CM após a colisão: v_{\rm CM}=\omega\,(L/2)=3v/4.

Passo 2

Aplicando conservação do momento angular em relação a A:
\bullet Antes da colisão a haste só se traduz, então seu momento angular em relação a A vale
L_i = m\,v \times \frac{L}{2}\,.
\bullet Depois da colisão a haste gira com velocidade angular \omega em torno de A, logo
L_f = I_A\,\omega = \frac{1}{3}\,mL^2\,\omega\,.
Igualando L_i = L_f:
m\,v\,\frac{L}{2} \;=\;\frac{1}{3}\,mL^2\,\omega \quad\Longrightarrow\quad \omega = \frac{3v}{2L}\,.

Passo 3

A energia cinética total após a colisão é puramente rotacional em torno de A:
K_{\rm after} = \frac12\,I_A\,\omega^2 = \frac12\;\frac{1}{3}mL^2\;\Bigl(\frac{3v}{2L}\Bigr)^{\!2} = \frac{3}{8}\,m\,v^2\,.

Passo 4

As velocidades das extremidades da haste, instantaneamente após o choque, vêm da rotação em torno de A:
\bullet Na extremidade presa em A:
v_A = 0\,.
\bullet Na extremidade oposta (distância L de A):
v_{\rm extremidade} = \omega\,L = \frac{3v}{2L}\;L = \frac{3v}{2}\,,
no mesmo sentido horizontal do movimento original.

Resposta

(a) \displaystyle \omega = \frac{3v}{2L}.
(b) \displaystyle K_{\rm after} = \frac{3}{8}\,m\,v^2.
(c) Velocidade na extremidade em A: 0; na extremidade livre: \tfrac{3v}{2}.

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