(Hayt - 5.16) Uma linha de transmissão coaxial tem condutores internos e externos de raios a e b, respectivamente. Entre os condutores (
) existe um meio condutivo cuja condutividade é
, onde
é uma constante. O condutor interno está carregado com potencial
e o condutor externo está aterrado.
Determine a intensidade de campo elétrico E considerando I e os outros parâmetros fornecidos ou conhecidos.
Determine a intensidade de campo elétrico E considerando I e os outros parâmetros fornecidos ou conhecidos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre linhas de transmissão coaxiais, que é parte da matéria de Eletromagnetismo. A questão fala sobre uma linha de transmissão com condutores internos e externos de raios $ a $ e $ b $, respectivamente. Entre esses condutores, tem um meio condutivo cuja condutividade varia com $ \rho $ de acordo com $ \sigma(\rho) = \frac{\sigma_0}{\rho} $, onde $ \sigma_0 $ é uma constante. O condutor interno está com um potencial $ V_0 $ e o externo está aterrado (potencial zero). A gente precisa determinar a intensidade do campo elétrico $ E $ considerando $ I $ e os outros parâmetros fornecidos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em uma linha de transmissão coaxial, o campo elétrico $ E $ está radialmente distribuído entre os condutores interno e externo. Como o meio entre eles tem uma condutividade $ \sigma(\rho) = \frac{\sigma_0}{\rho} $, isso significa que a condutividade depende da distância radial $ \rho $.
Passo 3
Sabemos que a corrente elétrica $ I $ em um material condutor está relacionada ao campo elétrico $ E $ e à condutividade $ \sigma $ pela lei de Ohm generalizada:
onde $ \mathbf{J} $ é a densidade de corrente. Como a corrente total $ I $ atravessa uma área circunferencial, podemos relacionar $ I $ com $ E $ integrando a densidade de corrente sobre essa área.
Passo 4
Vamos considerar em um anel circular de raio $ \rho $ dentro da região $ a < \rho < b $. A corrente que passa por esse anel é $ I $, e a área desse anel é a superfície lateral de um cilindro com raio $ \rho $ e comprimento $ L $:
Passo 5
A densidade de corrente $ J $ é a corrente por unidade de área, então:
Passo 6
Agora, aplicando a lei de Ohm generalizada $ \mathbf{J} = \sigma \mathbf{E} $, temos:
Simplificando a equação:
\
Passo 7
Observamos que $ \frac{1}{\rho} $ aparece dos dois lados e pode ser cancelado:
Passo 8
Agora, resolvemos para $ E $:
Resposta
Assim, a intensidade do campo elétrico $ E $ é dada por: