(Hayt - 5.16) Uma linha de transmissão coaxial tem condutores internos e externos de raios a e b, respectivamente. Entre os condutores ( a ) existe um meio condutivo cuja condutividade é sigma(rho)=sigma0 / rho, onde sigma0 é uma constante. O condutor interno está carregado com potencial V0 e o condutor externo está aterrado.
Determine a intensidade de campo elétrico E considerando I e os outros parâmetros fornecidos ou conhecidos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre linhas de transmissão coaxiais, que é parte da matéria de Eletromagnetismo. A questão fala sobre uma linha de transmissão com condutores internos e externos de raios $ a $ e $ b $, respectivamente. Entre esses condutores, tem um meio condutivo cuja condutividade varia com $ \rho $ de acordo com $ \sigma(\rho) = \frac{\sigma_0}{\rho} $, onde $ \sigma_0 $ é uma constante. O condutor interno está com um potencial $ V_0 $ e o externo está aterrado (potencial zero). A gente precisa determinar a intensidade do campo elétrico $ E $ considerando $ I $ e os outros parâmetros fornecidos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em uma linha de transmissão coaxial, o campo elétrico $ E $ está radialmente distribuído entre os condutores interno e externo. Como o meio entre eles tem uma condutividade $ \sigma(\rho) = \frac{\sigma_0}{\rho} $, isso significa que a condutividade depende da distância radial $ \rho $.

Passo 3

Sabemos que a corrente elétrica $ I $ em um material condutor está relacionada ao campo elétrico $ E $ e à condutividade $ \sigma $ pela lei de Ohm generalizada:
I
onde $ \mathbf{J} $ é a densidade de corrente. Como a corrente total $ I $ atravessa uma área circunferencial, podemos relacionar $ I $ com $ E $ integrando a densidade de corrente sobre essa área.

Passo 4

Vamos considerar em um anel circular de raio $ \rho $ dentro da região $ a < \rho < b $. A corrente que passa por esse anel é $ I $, e a área desse anel é a superfície lateral de um cilindro com raio $ \rho $ e comprimento $ L $:
rho

Passo 5

A densidade de corrente $ J $ é a corrente por unidade de área, então:
J

Passo 6

Agora, aplicando a lei de Ohm generalizada $ \mathbf{J} = \sigma \mathbf{E} $, temos:
J = sigma E
Simplificando a equação:
I2pi rho L = sigma0rho E
\

Passo 7

Observamos que $ \frac{1}{\rho} $ aparece dos dois lados e pode ser cancelado:
1rho

Passo 8

Agora, resolvemos para $ E $:
E

Resposta

Assim, a intensidade do campo elétrico $ E $ é dada por:
E

Exercícios relacionados