Verifique se as seguintes equações diferenciais são exatas e resolva as que forem:
2) y e^{x y} d x+x e^{x y} d y=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação diferencial
y\,e^{x y}\,dx \;+\; x\,e^{x y}\,dy \;=\; 0
é exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução. O método envolve definir
M(x,y)=y\,e^{x y}, \quad N(x,y)=x\,e^{x y},
conferir a igualdade das derivadas parciais \partial M/\partial y e \partial N/\partial x, e depois buscar uma função potencial \psi(x,y) tal que d\psi=M\,dx+N\,dy.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\,e^{xy}\bigr) =e^{xy}+xy\,e^{xy},
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\,e^{xy}\bigr) =e^{xy}+xy\,e^{xy}.
Como \displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x},
a equação é exata.

Passo 3

Procurar \psi(x,y) satisfazendo \partial \psi/\partial x = M.
Integramos M em relação a x, tratando y como constante:
\psi(x,y) =\int y\,e^{xy}\,dx =e^{xy}+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Impor que \partial \psi/\partial y = N.
Calculando:
\frac{\partial \psi}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{xy}+h(y)\bigr) =x\,e^{xy}+h'(y) \stackrel!=x\,e^{xy},
logo h'(y)=0 e h(y) é constante. Assim a solução implícita fica
\psi(x,y)=e^{xy}=C.

Resposta

e^{x y}=C.

Exercícios relacionados