1. (Hibbeler) Mostre que,quando a barra está submetida ao torque T, o comprimento L diminui uma quantidade L\left(1-\sqrt{1-\left(2 T / \pi c^{3} G\right)^{2}}\right). O material de que é feito o eixo tem modulo de elasticidade ao cisalhamento G .

Passo 1

O que o problema pede: mostrar que, quando a barra cilíndrica de raio c e comprimento inicial L é submetida a um torque T, seu comprimento diminui de
L\Bigl(1-\sqrt{1-\bigl(\tfrac{2T}{\pi c^{3} G}\bigr)^{2}}\Bigr).
Informações dadas:
  • Torque aplicado: T.
  • Comprimento inicial: L.
  • Raio do eixo: c.
  • Módulo de elasticidade ao cisalhamento: G.
  • Para um eixo circular sólido, o momento polar de inércia (ou momento de torsão) é \displaystyle J=\frac{\pi c^{4}}{2}.
Pergunta explícita: demonstrar a expressão da diminuição do comprimento em função de T,c,G e L.

Passo 2

Ideia física e definição das variáveis importantes (aulas rápidas):
  • Quando aplicamos um torque T a um eixo circular sólido, cada seção transversal sofre uma rotação relativa ao longo do eixo. A inclinação de rotação por unidade de comprimento é chamada de ângulo de torção por unidade de comprimento e eu a chamo de \alpha, isto é,
\alpha=\frac{d\varphi}{dx},
onde \varphi(x) é o ângulo de rotação da seção a uma distância x de uma extremidade.
  • Para torção em regime elástico linear temos a relação clássica (fórmula de torsão):
T=GJ\alpha.
Aqui J é o momento polar de inércia da seção circular; para um círculo sólido
\displaystyle J=\frac{\pi c^{4}}{2}.
  • Isolando \alpha da relação T=GJ\alpha obtemos
\alpha=\frac{T}{GJ}=\frac{T}{G\left(\dfrac{\pi c^{4}}{2}\right)}=\frac{2T}{\pi G c^{4}}.
É útil também a rotação total entre as extremidades (ângulo total de torção)
\Phi=\alpha L.
Comentário didático curto: a fórmula T=GJ\alpha vem do equilíbrio e da lei de Hooke para cisalhamento: torque é proporcional ao gradiente de rotação \alpha, com constante GJ. Não há necessidade de redevelopar isso aqui — é a relação padrão de torsão.

Passo 3

Escolha do elemento geométrico a analisar (passo crucial e intuitivo):
  • Considere uma linha material sobre a superfície lateral do eixo que, antes da torção, era uma geratriz paralela ao eixo (ou seja, um segmento reto de comprimento L sobre a superfície, indo de uma extremidade à outra).
  • Após a torção, os pontos dessa geratriz descrevem uma hélice ao redor do eixo: ela gira à medida que avançamos axialmente. Suponha que a barra tenha encurtado axialmente de uma quantidade \Delta (isto é, o novo comprimento axial é L-\Delta). A hélice terá comprimento igual ao comprimento original do material dessa geratriz (porque estamos acompanhando a mesma linha de material ao deformar).
  • Vamos relacionar geometricamente o comprimento original L com as dimensões da hélice após a deformação.

Passo 4

Montagem da equação geométrica da hélice:
  • A hélice tem:
    • extensão axial (distância entre as extremidades ao longo do eixo) igual a L-\Delta;
    • deslocamento circumferencial total igual a c vezes o ângulo total \Phi, isto é, c\Phi.
  • O comprimento da hélice (por geometria) é a hipotenusa formada por esses dois componentes:
\text{comprimento da hélice}=\sqrt{(L-\Delta)^{2}+(c\Phi)^{2}}.é
  • Esse comprimento é o comprimento original da geratriz (linha material), que era L. Portanto temos a equação exata
L=\sqrt{(L-\Delta)^{2}+(c\Phi)^{2}}.

Passo 5

Substituir \Phi=\alpha L e desenvolver a equação:
  • Substituindo \Phi=\alpha L na equação do passo anterior:
L=\sqrt{(L-\Delta)^{2}+\bigl(c\alpha L\bigr)^{2}}.
  • Eleve ambos os lados ao quadrado:
L^{2}=(L-\Delta)^{2}+(c\alpha L)^{2}.
  • Expanda (L-\Delta)^{2}:
L^{2}=L^{2}-2L\Delta+\Delta^{2}+c^{2}\alpha^{2}L^{2}.
  • Cancelando L^{2} em ambos os lados e organizando:
0=-2L\Delta+\Delta^{2}+c^{2}\alpha^{2}L^{2}.
  • Divida por L^{2} para trabalhar com razões adimensionais (defina x=\Delta/L):
0=-2x+x^{2}+c^{2}\alpha^{2}.
Ou seja,
x^{2}-2x+c^{2}\alpha^{2}=0.

Passo 6

Resolver a quadrática e escolher a raiz física:
  • A equação quadrática em x tem solução (fórmula de Bhaskara)
x=\frac{2\pm\sqrt{4-4c^{2}\alpha^{2}}}{2}=1\pm\sqrt{1-c^{2}\alpha^{2}}.
  • Das duas raízes, precisamos da solução pequena e positiva para \Delta quando T (e, portanto, \alpha) é pequeno. A raiz adequada é
x=1-\sqrt{1-c^{2}\alpha^{2}}.
  • Voltando para \Delta:
\Delta=L\Bigl(1-\sqrt{1-c^{2}\alpha^{2}}\Bigr).

Passo 7

Substituir \alpha por T,G,c para obter a expressão pedida:
  • Lembrando que \alpha=\dfrac{2T}{\pi G c^{4}}, temos
c^{2}\alpha^{2}=c^{2}\left(\frac{2T}{\pi G c^{4}}\right)^{2}=\left(\frac{2T}{\pi G c^{3}}\right)^{2}.
  • Portanto a diminuição do comprimento é
\Delta=L\Biggl(1-\sqrt{1-\Bigl(\frac{2T}{\pi G c^{3}}\Bigr)^{2}}\Biggr),
que é exatamente a forma exigida no enunciado.

Passo 8

Breve verificação aproximada (para incentivar a intuição):
  • Para torques pequenos, usando \sqrt{1-u}\approx 1-\tfrac{u}{2} para u\ll1, com u=(2T/(\pi G c^{3}))^{2}, obtemos a aproximação
\Delta\approx L\cdot\frac{1}{2}\Bigl(\frac{2T}{\pi G c^{3}}\Bigr)^{2}=\frac{2L T^{2}}{\pi^{2} G^{2} c^{6}},
que dá uma ordem de grandeza razoável (diminuição quadrática em T quando T é pequeno).

Resposta

L\Bigl(1-\sqrt{1-\bigl(\tfrac{2T}{\pi c^{3} G}\bigr)^{2}}\Bigr)

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