- (Hibbeler) Mostre que,quando a barra está submetida ao torque
, o comprimento
diminui uma quantidade
. O material de que é feito o eixo tem modulo de elasticidade ao cisalhamento G .
Passo 1
O que o problema pede: mostrar que, quando a barra cilíndrica de raio
e comprimento inicial
é submetida a um torque
, seu comprimento diminui de
Informações dadas:
- Torque aplicado:
. - Comprimento inicial:
. - Raio do eixo:
. - Módulo de elasticidade ao cisalhamento:
. - Para um eixo circular sólido, o momento polar de inércia (ou momento de torsão) é
.
Pergunta explícita: demonstrar a expressão da diminuição do comprimento em função de
e
.
Passo 2
Ideia física e definição das variáveis importantes (aulas rápidas):
- Quando aplicamos um torque
a um eixo circular sólido, cada seção transversal sofre uma rotação relativa ao longo do eixo. A inclinação de rotação por unidade de comprimento é chamada de ângulo de torção por unidade de comprimento e eu a chamo de , isto é,
onde
é o ângulo de rotação da seção a uma distância
de uma extremidade.
- Para torção em regime elástico linear temos a relação clássica (fórmula de torsão):
Aqui
é o momento polar de inércia da seção circular; para um círculo sólido
- Isolando
da relação obtemos
É útil também a rotação total entre as extremidades (ângulo total de torção)
Comentário didático curto: a fórmula
vem do equilíbrio e da lei de Hooke para cisalhamento: torque é proporcional ao gradiente de rotação
, com constante
. Não há necessidade de redevelopar isso aqui — é a relação padrão de torsão.
Passo 3
Escolha do elemento geométrico a analisar (passo crucial e intuitivo):
- Considere uma linha material sobre a superfície lateral do eixo que, antes da torção, era uma geratriz paralela ao eixo (ou seja, um segmento reto de comprimento
sobre a superfície, indo de uma extremidade à outra). - Após a torção, os pontos dessa geratriz descrevem uma hélice ao redor do eixo: ela gira à medida que avançamos axialmente. Suponha que a barra tenha encurtado axialmente de uma quantidade
(isto é, o novo comprimento axial é ). A hélice terá comprimento igual ao comprimento original do material dessa geratriz (porque estamos acompanhando a mesma linha de material ao deformar). - Vamos relacionar geometricamente o comprimento original
com as dimensões da hélice após a deformação.
Passo 4
Montagem da equação geométrica da hélice:
- A hélice tem:
- extensão axial (distância entre as extremidades ao longo do eixo) igual a
; - deslocamento circumferencial total igual a
vezes o ângulo total , isto é, .
- extensão axial (distância entre as extremidades ao longo do eixo) igual a
- O comprimento da hélice (por geometria) é a hipotenusa formada por esses dois componentes:
- Esse comprimento é o comprimento original da geratriz (linha material), que era
. Portanto temos a equação exata
Passo 5
Substituir
e desenvolver a equação:
- Substituindo
na equação do passo anterior:
- Eleve ambos os lados ao quadrado:
- Expanda
:
- Cancelando
em ambos os lados e organizando:
- Divida por
para trabalhar com razões adimensionais (defina ):
Ou seja,
Passo 6
Resolver a quadrática e escolher a raiz física:
- A equação quadrática em
tem solução (fórmula de Bhaskara)
- Das duas raízes, precisamos da solução pequena e positiva para
quando (e, portanto, ) é pequeno. A raiz adequada é
- Voltando para
:
Passo 7
Substituir
por
para obter a expressão pedida:
- Lembrando que
, temos
- Portanto a diminuição do comprimento é
que é exatamente a forma exigida no enunciado.
Passo 8
Breve verificação aproximada (para incentivar a intuição):
- Para torques pequenos, usando
para , com , obtemos a aproximação
que dá uma ordem de grandeza razoável (diminuição quadrática em
quando
é pequeno).
Resposta
L\Bigl(1-\sqrt{1-\bigl(\tfrac{2T}{\pi c^{3} G}\bigr)^{2}}\Bigr)