1. (Hibbeler). Os arames A B e A C são de aço e o arame A D é de cobre. Antes de ser aplicada a força de 150 \mathrm{lb}, \mathrm{AB} e AC têm 60 pol de comprimento cada um e AD tem 40 pol . Supondo que a temperatura suba para 80^{\circ} \mathrm{F}, determinar a força necessária em cada arame para suportar a carga. Supor também, que \mathrm{E}_{\text {aço }}=29\left(10^{3}\right) \mathrm{ksi}, \quad \mathrm{E}_{\mathrm{cu}}=17\left(10^{3}\right) \quad \mathrm{ksi}, \quad \alpha_{\text {aço }}=8\left(10^{-6}\right) /{ }^{\circ} \mathrm{F}çç, \alpha_{\mathrm{cu}}=9,60\left(10^{-6}\right) /{ }^{\circ} \mathrm{F}. Cada arame tem área da seção transversal de 0,0123 \mathrm{pol}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a força em cada arame (dois diagonais AB e AC de aço e o vertical AD de cobre) que suporta a carga de 150\\ \mathrm{lb} quando a temperatura sobe para 80^\circ\mathrm{F}. Dados fornecidos (peguei os comprimentos e os ângulos da imagem):\n
\begin{aligned} &\text{Comprimentos iniciais:}\quad L_{s}=60\\ \text{pol (para }AB\text{ e }AC),\quad L_{c}=40\\ \text{pol (para }AD\text{)};\\\ &\text{Carga vertical para baixo: }150\\ \mathrm{lb};\\\ &\text{Geometria (da imagem): cada linha diagonal forma }45^\circ\text{ com a vertical};\\\ &\text{Módulos de elasticidade: }E_{s}=29\times10^{6}\\ \mathrm{psi},\quad E_{c}=17\times10^{6}\\ \mathrm{psi};\\\ &\text{Coeficientes de dilatação térmica: }\alpha_{s}=8\times10^{-6}/^\circ\mathrm{F},\quad \alpha_{c}=9{,}60\times10^{-6}/^\circ\mathrm{F};\\\ &\text{Área da seção: }A=0{,}0123\\ \mathrm{in}^2. \end{aligned}óçãéÁçã
Observação importante: o enunciado diz que a temperatura "suba para 80^\circ\mathrm{F}" mas não informa a temperatura inicial; portanto vou assumir que a temperatura inicial era 60^\circ\mathrm{F}, ou seja \Delta T=80-60=20^\circ\mathrm{F}. Se você tiver outra temperatura inicial, repita os cálculos substituindo \Delta T.\n
Pergunta final a responder numericamente: quais são as forças em AB (igual a AC) e em AD.

Passo 2

Plano físico e fórmulas que vamos usar (explicação didática):\n
  • Equilíbrio: a soma das componentes verticais das tensões nos fios deve equilibrar a carga vertical: as duas diagonais têm força igual (simetria) F_s e o vertical tem F_c. Como cada diagonal faz 45^\circ com a vertical, a condição de equilíbrio vertical é
2F_s\cos45^\circ + F_c = 150\\ \mathrm{lb}.
Expliquei: \cos45^\circ é a componente vertical de cada tensão diagonal.\n
  • Relação tensão-deformação (Lei de Hooke, uniaxial): a força axial num fio é
F = A E \epsilon_\text{m},
onde \epsilon_\text{m} é a deformação mecânica (devida a esforços) — explicando: quando há temperatura, a barra “quer” se expandir livremente \epsilon_\text{th}=\alpha\Delta T; se estiver restrita, a deformação total real \epsilon_\text{tot} é a soma da térmica com a mecânica:
\epsilon_\text{tot} = \epsilon_\text{m} + \epsilon_\text{th}.
Aqui, a deformação mecânica que gera força é
\epsilon_\text{m} = \epsilon_\text{tot} - \alpha\Delta T.
  • Compatibilidade geométrica: a peça A desloca-se verticalmente uma distância \delta (positivo para baixo). A deformação axial real em cada fio é a variação do comprimento dividida pelo comprimento inicial. Para pequenas deslocamentos, a variação axial do fio diagonal é a projeção do deslocamento vertical na direção do fio, isto é \delta\cos45^\circ. Logo:
\epsilon_{s,\text{tot}}=\frac{\delta\cos45^\circ}{L_s},\qquad \epsilon_{c,\text{tot}}=\frac{\delta}{L_c}.
Portanto as deformações mecânicas que entram em F=A E \epsilon_\text{m} são
\epsilon_s=\frac{\delta\cos45^\circ}{L_s}-\alpha_s\Delta T,\qquad \epsilon_c=\frac{\delta}{L_c}-\alpha_c\Delta T.
Expliquei: a parte \alpha\Delta T é o quanto a barra se alongaria livremente por aquecimento; se a peça não puder expandir tanto, aparece tensão correspondente à diferença.

Passo 3

Escrever as expressões das forças em função de \delta (vamos trabalhar em polegadas e libras):\n
  • Cosseno de 45^\circ: \cos45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.\n
  • Força em cada fio de aço (diagonal):
F_s = A E_s\left(\frac{\delta\cos45^\circ}{L_s}-\alpha_s\Delta T\right).
  • Força no fio de cobre (vertical):
F_c = A E_c\left(\frac{\delta}{L_c}-\alpha_c\Delta T\right).

Passo 4

Calcular os produtos AE numéricos (para evitar confusão de unidades uso E em \mathrm{psi} e A em \mathrm{in}^2, assim AE dá força em lb por unidade de deformação):\n
\begin{aligned} AE_s &= A E_s = 0{,}0123\cdot(29\times10^6) = 356700\\ \mathrm{lb},\\[4pt] AE_c &= A E_c = 0{,}0123\cdot(17\times10^6) = 209100\\ \mathrm{lb}. \end{aligned}]

Passo 5

Substituir nas fórmulas e montar a equação de equilíbrio (tudo em unidades compatíveis):\n
Use \Delta T=20^\circ\mathrm{F} (assunção feita no Passo 1) e calcule \alpha\Delta T:\n
\alpha_s\Delta T = 8\times10^{-6}\cdot20 = 1{,}6\times10^{-4}, \qquad \alpha_c\Delta T = 9{,}60\times10^{-6}\cdot20 = 1{,}92\times10^{-4}.
Agora a condição de equilíbrio vertical:
2F_s\cos45^\circ + F_c = 150.
Substituindo F_s e F_c:
2\biggl(AE_s\Big(\frac{\delta\cos45^\circ}{L_s}-\alpha_s\Delta T\Big)\biggr)\cos45^\circ + AE_c\Big(\frac{\delta}{L_c}-\alpha_c\Delta T\Big)=150.

Passo 6

Simplificar numericamente a equação para resolver \delta. Sabendo que \cos^2 45^\circ=\tfrac{1}{2}, L_s=60\\ \text{in}, L_c=40\\ \text{in}, e usando os valores de AE calculados:
\begin{aligned} &2AE_s\frac{\cos^2 45^\circ}{L_s}\,\delta \;+\; AE_c\frac{1}{L_c}\,\delta \\\ &\qquad -2AE_s\cos45^\circ(\alpha_s\Delta T) \; -\; AE_c(\alpha_c\Delta T) = 150. \end{aligned}
Agora calcule termo a termo (vou mostrar as contas passo a passo):\n
  • Coeficiente de \delta proveniente dos fios de aço:
2AE_s\frac{\cos^2 45^\circ}{L_s} = 2\cdot356700\cdot\frac{1/2}{60} = \frac{2\cdot356700}{120} = \frac{713400}{120}=5945\\ \frac{\mathrm{lb}}{\mathrm{in}}.
  • Coeficiente de \delta do fio de cobre:
AE_c\frac{1}{L_c}=\frac{209100}{40}=5227{,}5\\ \frac{\mathrm{lb}}{\mathrm{in}}.
  • Constantes (termos independentes de \delta):
-2AE_s\cos45^\circ(\alpha_s\Delta T) = -2\cdot356700\cdot0{,}70710678\cdot1{,}6\times10^{-4}\approx -80{,}73\\ \mathrm{lb},
-AE_c(\alpha_c\Delta T) = -209100\cdot1{,}92\times10^{-4}\approx -40{,}15\\ \mathrm{lb}.
Somando os coeficientes de \delta:
5945 + 5227{,}5 = 11172{,}5\\ \frac{\mathrm{lb}}{\mathrm{in}}.
Somando as constantes:
-80{,}73 - 40{,}15 = -120{,}88\\ \mathrm{lb}.
Assim a equação fica:
11172{,}5\,\delta - 120{,}88 = 150.

Passo 7

Resolver para \delta:
11172{,}5\,\delta = 150 + 120{,}88 = 270{,}88
\Rightarrow \delta = \frac{270{,}88}{11172{,}5}\approx 0{,}02425\\ \mathrm{in}.
Interpretação: o nó A desloca-se para baixo cerca de 0{,}0243 polegadas.

Passo 8

Calcular agora as forças F_s e F_c usando \delta:\n
Para o aço (cada diagonal):
F_s = AE_s\left(\frac{\delta\cos45^\circ}{L_s}-\alpha_s\Delta T\right).
Calculemos a parte interna numérica:
\frac{\delta\cos45^\circ}{L_s}=\frac{0{,}02425\cdot0{,}70710678}{60}\approx 2{,}858\times10^{-4},
\frac{\delta\cos45^\circ}{L_s}-\alpha_s\Delta T \approx 2{,}858\times10^{-4} - 1{,}6\times10^{-4} = 1{,}258\times10^{-4}.
Multiplicando por AE_s=356700:
F_s \approx 356700\cdot1{,}258\times10^{-4}\approx 44{,}86\\ \mathrm{lb}.
Para o cobre (fio vertical):
F_c = AE_c\left(\frac{\delta}{L_c}-\alpha_c\Delta T\right).
Calcule:
\frac{\delta}{L_c}=\frac{0{,}02425}{40}=6{,}0625\times10^{-4},
\frac{\delta}{L_c}-\alpha_c\Delta T \approx 6{,}0625\times10^{-4}-1{,}92\times10^{-4}=4{,}1425\times10^{-4},
F_c \approx 209100\cdot4{,}1425\times10^{-4}\approx 86{,}66\\ \mathrm{lb}.

Passo 9

Verificação rápida do equilíbrio vertical:
2F_s\cos45^\circ + F_c \approx 2\cdot44{,}86\cdot0{,}70710678 + 86{,}66 \approx 150{,}0\\ \mathrm{lb},
portanto está consistente (diferenças mínimas por arredondamento). As forças são positivas, indicando que todos os fios ficam em tensão (faz sentido: aquecimento tende a alongar, mas a carga e a geometria equilibram para que os fios estejam esticados).

Resposta

F_{AB}=F_{AC}\approx 44{,}9\\ \mathrm{lb}\n
F_{AD}\approx 86{,}7\\ \mathrm{lb}

Exercícios relacionados