- (Hibbeler). Os arames
e
são de aço e o arame
é de cobre. Antes de ser aplicada a força de
e AC têm 60 pol de comprimento cada um e AD tem 40 pol . Supondo que a temperatura suba para
, determinar a força necessária em cada arame para suportar a carga. Supor também, que
,
. Cada arame tem área da seção transversal de
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a força em cada arame (dois diagonais
e
de aço e o vertical
de cobre) que suporta a carga de
quando a temperatura sobe para
. Dados fornecidos (peguei os comprimentos e os ângulos da imagem):\n
Observação importante: o enunciado diz que a temperatura "suba para
" mas não informa a temperatura inicial; portanto vou assumir que a temperatura inicial era
, ou seja
. Se você tiver outra temperatura inicial, repita os cálculos substituindo
.\n
Pergunta final a responder numericamente: quais são as forças em (igual a
) e em
.
Pergunta final a responder numericamente: quais são as forças em
Passo 2
Plano físico e fórmulas que vamos usar (explicação didática):\n
- Equilíbrio: a soma das componentes verticais das tensões nos fios deve equilibrar a carga vertical: as duas diagonais têm força igual (simetria)
e o vertical tem . Como cada diagonal faz com a vertical, a condição de equilíbrio vertical é
Expliquei:
é a componente vertical de cada tensão diagonal.\n
- Relação tensão-deformação (Lei de Hooke, uniaxial): a força axial num fio é
onde
é a deformação mecânica (devida a esforços) — explicando: quando há temperatura, a barra “quer” se expandir livremente
; se estiver restrita, a deformação total real
é a soma da térmica com a mecânica:
Aqui, a deformação mecânica que gera força é
- Compatibilidade geométrica: a peça A desloca-se verticalmente uma distância
(positivo para baixo). A deformação axial real em cada fio é a variação do comprimento dividida pelo comprimento inicial. Para pequenas deslocamentos, a variação axial do fio diagonal é a projeção do deslocamento vertical na direção do fio, isto é . Logo:
Portanto as deformações mecânicas que entram em
são
Expliquei: a parte
é o quanto a barra se alongaria livremente por aquecimento; se a peça não puder expandir tanto, aparece tensão correspondente à diferença.
Passo 3
Escrever as expressões das forças em função de
(vamos trabalhar em polegadas e libras):\n
- Cosseno de
: .\n - Força em cada fio de aço (diagonal):
- Força no fio de cobre (vertical):
Passo 4
Calcular os produtos
numéricos (para evitar confusão de unidades uso
em
e
em
, assim
dá força em lb por unidade de deformação):\n
Passo 5
Substituir nas fórmulas e montar a equação de equilíbrio (tudo em unidades compatíveis):\n
Use (assunção feita no Passo 1) e calcule
:\n
Use
Agora a condição de equilíbrio vertical:
Substituindo
e
:
Passo 6
Simplificar numericamente a equação para resolver
. Sabendo que
,
,
, e usando os valores de
calculados:
Agora calcule termo a termo (vou mostrar as contas passo a passo):\n
- Coeficiente de
proveniente dos fios de aço:
- Coeficiente de
do fio de cobre:
- Constantes (termos independentes de
):
Somando os coeficientes de
:
Somando as constantes:
Assim a equação fica:
Passo 7
Resolver para
:
Interpretação: o nó
desloca-se para baixo cerca de
polegadas.
Passo 8
Calcular agora as forças
e
usando
:\n
Para o aço (cada diagonal):
Para o aço (cada diagonal):
Calculemos a parte interna numérica:
Multiplicando por
:
Para o cobre (fio vertical):
Calcule:
Passo 9
Verificação rápida do equilíbrio vertical:
portanto está consistente (diferenças mínimas por arredondamento). As forças são positivas, indicando que todos os fios ficam em tensão (faz sentido: aquecimento tende a alongar, mas a carga e a geometria equilibram para que os fios estejam esticados).