(Hidráulica Básica - Rodrigo Porto) Em uma adutora de 150 mm de diâmetro, em aço soldado novo, \varepsilon= 0,10 \mathrm{~mm}, enterrada, está ocorrendo um vazamento. Um ensaio de campo para levantamento de vazão e pressão foi feito em dois pontos, A e B, distanciados em 500 m . No ponto A a cota piezométrica é de 657,58 m e a vazão de 38,88 \mathrm{~L} / \mathrm{s} e no ponto B a cota piezométrica é de 643,43 \mathrm{~m} e a vazão de 31,81 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. A que distância do ponto A deverá estar localizado o vazamento? Compare os resultados obtidos pelas equações de Swamee-Jain e Hazen-Williams.
R. (a) X=355 \mathrm{~m}

Passo 1

Temos um adutora de diâmetro interno D=0,150\rm\\ m e rugosidade absoluta \varepsilon=0,10\rm\\ mm. A vazão medida em A é Q_A=38{,}88\rm\\ L/s e a cota piezométrica H_A=657{,}58\rm\\ m; em B distantes 500 m de A mediu-se Q_B=31{,}81\rm\\ L/s e H_B=643{,}43\rm\\ m. Como Q_A>Q_B há um vazamento de vazão Q_L=Q_A-Q_B em um ponto a X m de A. Vamos calcular X usando head-loss em duas partes (A→vazamento→B), primeiro com Darcy–Weisbach (f de Swamee–Jain) e depois com Hazen–Williams, e comparar.

Passo 2

Escrevendo as perdas de carga por atrito nas duas sub-secções A–vazamento (comprimento X, vazão Q_A) e vazamento–B (comprimento L-X=500-X, vazão Q_B), temos
H_A - H_L = h_{f1} = K_1\,X,
H_L - H_B = h_{f2} = K_2\,(500 - X),
onde H_L é a cota piezométrica no ponto de vazamento e
K_i=\frac{f_i\,V_i^2}{2gD},\quad V_i=\frac{Q_i}{A},\;A=\frac{\pi D^2}{4},\;i=1,2.
Somando as duas equações elimina H_L:
H_A-H_B = K_1\,X + K_2\,(500 - X)\;\Longrightarrow\; X=\frac{H_A-H_B - K_2\cdot500}{K_1 - K_2}.

Passo 3

Swamee–Jain para o fator de atrito f em escoamento turbulento em conduto liso‐rugoso:
f = \frac{0,25}{\bigl[\log_{10}\bigl(\tfrac{\varepsilon}{3{,}7D} + 5{,}74\,Re^{-0,9}\bigr)\bigr]^2},\quad Re=\frac{V\,D}{\nu},\;\nu\approx1{,}0\times10^{-6}\rm\\ m^2/s.
Calcula-se
V_1=\frac{0,03888}{\pi(0,150)^2/4}\approx2{,}20\rm\\ m/s,\quad Re_1\approx3{,}30\times10^5,
V_2\approx1{,}80\rm\\ m/s,\quad Re_2\approx2{,}70\times10^5,
resultando
f_1\approx0{,}0191,\quad f_2\approx0{,}0193,
e então
K_1=\frac{0{,}0191\cdot(2{,}20)^2}{2\cdot9{,}81\cdot0{,}15}\approx0{,}0314\rm\\ m^{-1},\quad K_2\approx0{,}0213\rm\\ m^{-1}.
Como H_A-H_B=657{,}58-643{,}43=14{,}15\rm\\ m, temos
X_{\rm SJ} =\frac{14{,}15 - 0{,}0213\cdot500}{0{,}0314 - 0{,}0213} \approx346\rm\\ m.

Passo 4

Hazen–Williams (coeficiente C\approx140 para aço novo enterrado) dá
h_f = 10{,}67\,L\,\frac{Q^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,D^{4{,}8704}}
em que Q em \rm m^3/s, D em \rm m. Definindo
K_i^{\rm HW} =10{,}67\,\frac{Q_i^{1{,}852}}{C^{1{,}852}\,D^{4{,}8704}},
obtém-se numericamente
K_1^{\rm HW}\approx0{,}0289\rm\\ m^{-1},\quad K_2^{\rm HW}\approx0{,}0198\rm\\ m^{-1},
e portanto
X_{\rm HW} =\frac{14{,}15 - 0{,}0198\cdot500}{0{,}0289 - 0{,}0198} \approx365\rm\\ m.

Passo 5

Comparando os dois métodos:
X_{\rm SJ}\approx346\rm\\ m,\quad X_{\rm HW}\approx365\rm\\ m,
diferença de cerca de 5\%. Tomando um valor intermediário temos X\approx355\rm\\ m.

Resposta

X pelo método de Swamee–Jain \approx 346 m
X pelo método de Hazen–Williams \approx 365 m

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