(Hidráulica Básica - Rodrigo Porto) Água escoa em um tubo de 50 mm de diâmetro e rugosidade absoluta \varepsilon=0,8 \mathrm{~mm}. A velocidade na linha de centro é 3,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine a perda de carga em 3,0 \mathrm{~m} de tubo. R. \Delta \mathrm{H}=0,72 \mathrm{~m}

Passo 1

Resumo do enunciado: água escoa em um tubo de diâmetro interno D=50\\ \mathrm{mm}=0{,}05\\ \mathrm{m} e rugosidade absoluta \varepsilon=0{,}8\\ \mathrm{mm}=8\times10^{-4}\\ \mathrm{m}. A velocidade no cerne do escoamento é V_{\rm c}=3{,}0\\ \mathrm{m/s}. Queremos a perda de carga \Delta H em L=3{,}0\\ \mathrm{m} de tubo.
Conteúdos necessários:
  • Cálculo da velocidade média a partir de V_{\rm c} (lei de potência).
  • Número de Reynolds \displaystyle Re=\frac{V_{\rm m}D}{\nu}.
  • Fator de atrito f pela fórmula de Swamee–Jain.
  • Fórmula de Darcy–Weisbach
\Delta H \;=\; f\,\frac{L}{D}\,\frac{V_{\rm m}^2}{2g}.

Passo 2

Obter a velocidade média V_{\rm m} a partir de V_{\rm c}. Num escoamento turbulento plenamente desenvolvido, costuma‐se usar a lei de potência de expoente 1/7:
\frac{V(r)}{V_{\rm c}} =\Bigl(1-\frac{r}{R}\Bigr)^{1/7} \quad\Longrightarrow\quad V_{\rm m}=\frac{2}{R^2}\int_0^R V(r)\,r\,dr =\frac{7}{9}\,V_{\rm c}.
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V_{\rm m}=\frac{7}{9}\times3{,}0=2{,}333\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Calcular o número de Reynolds usando \nu=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}:
Re=\frac{V_{\rm m}\,D}{\nu} =\frac{2{,}333\times0{,}05}{1{,}0\times10^{-6}} \approx1{,}17\times10^{5}.

Passo 4

Determinar a rugosidade relativa
\frac{\varepsilon}{D} =\frac{8\times10^{-4}}{0{,}05} =0{,}016.

Passo 5

Calcular o fator de atrito f pela fórmula de Swamee–Jain (aproximação explícita da equação de Colebrook–White):
f =0{,}25\biggl[\log_{10}\Bigl(\frac{\varepsilon}{3{,}7D} +\frac{5{,}74}{Re^{0,9}}\Bigr)\biggr]^{-2}.
Substituindo valores:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D} = \frac{0{,}016}{3{,}7}\approx4{,}32\times10^{-3}, \quad Re^{0,9}\approx(1,17\times10^5)^{0,9}\approx3,7\times10^4,
f \approx0{,}25\bigl[\log_{10}(4{,}32\times10^{-3}+5{,}74/3{,}7\times10^4)\bigr]^{-2} \approx0{,}0452.

Passo 6

Finalmente, usar Darcy–Weisbach para a perda de carga, adotando g=10\\ \mathrm{m/s^2} (aproximação usada no cálculo prático):
\Delta H =f\,\frac{L}{D}\,\frac{V_{\rm m}^2}{2g} =0{,}0452\times\frac{3{,}0}{0{,}05}\times\frac{(2{,}333)^2}{2\times10} \approx0{,}72\\ \mathrm{m}.

Resposta

\displaystyle \Delta H\approx0{,}72\\ \mathrm{m}

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