(Manual de Hidráulica - Azevedo Netto) Uma canalização nova de aço com 150 m de comprimento transporta gasolina a 10^{\circ} \mathrm{C}\left(v=7,1.10^{-7} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}\right) de um tanque para outro, com uma velocidade média de 1,44 \mathrm{m} / \mathrm{s}. A rugosidade dos tubos pode ser admitida como igual a 0,000061 \mathrm{~m}. Determinar o diâmetro e a vazão na linha, conhecida a diferença de nível entre os dois depósitos, de 1,86 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado descreve um escoamento gravitacional de gasolina (viscosidade cinemática \nu=7,1\times10^{-7}\,\mathrm{m}^2/\mathrm{s}) em um tubo de aço novo de comprimento L=150\,\mathrm{m}, rugosidade \varepsilon=6{,}1\times10^{-5}\,\mathrm{m} e velocidade média V=1{,}44\,\mathrm{m/s}. A queda de nível entre os tanques é H=1{,}86\,\mathrm{m}. Queremos determinar o diâmetro D que equilibra a perda de carga por atrito com H e, em seguida, a vazão Q. Para isso usaremos a equação de Darcy–Weisbach e a equação de Colebrook (via fórmula explícita de Swamee–Jain) em regime turbulento.

Passo 2

A perda de carga por atrito em regime permanente é dada por
H_f \;=\; f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2\,g},
onde f é o fator de atrito de Darcy e g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2}. Como não há outras perdas, igualamos H_f à diferença de nível:
f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2\,g} \;=\; H.

Passo 3

Isolando D em função de f, obtemos
D \;=\; \frac{f\,L\,V^2}{2\,g\,H}.
Porém f depende de D via o número de Reynolds \displaystyle Re = \frac{V D}{\nu} e a rugosidade relativa \varepsilon/D. Usaremos a fórmula de Swamee–Jain como aproximação explícita de Colebrook–White:
f = 0{,}25\biggl[\log_{10}\Bigl(\frac{\varepsilon}{3{,}7\,D} + \frac{5{,}74}{Re^{0,9}}\Bigr)\biggr]^{-2}.

Passo 4

Fazemos iteração começando com um palpite f_0. Por exemplo, f_0=0{,}02.
  1. Calcule
D_1 = \frac{f_0\,L\,V^2}{2\,g\,H}.
  1. Calcule
Re_1 = \frac{V\,D_1}{\nu}.
  1. Atualize f por
f_1 = 0{,}25\Bigl[\log_{10}\bigl(\tfrac{\varepsilon}{3{,}7\,D_1} + \tfrac{5{,}74}{Re_1^{0,9}}\bigr)\Bigr]^{-2}.

Passo 5

Repita o ciclo D_i\to Re_i\to f_i\to D_{i+1} até que D varie negligivelmente entre iterações. Após algumas passagens chega-se a
D \approx 0{,}151\\ \mathrm{m}, \quad f \approx 0{,}0177.

Passo 6

Com o diâmetro final, a vazão volumétrica é
Q = V\,\frac{\pi D^2}{4} \;\approx\; 1{,}44\;\frac{\pi\,(0{,}151)^2}{4} \;\approx\; 0{,}0258\;\mathrm{m}^3/\mathrm{s}.

Resposta

Diâmetro D \approx 0{,}151 m
Vazão Q \approx 0{,}0258 m ^3/s

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