A hidroalquilação é uma reação que pode ser usada para converter tolueno em benzeno, que normalmente é mais valioso que o tolueno. A reação é:
\mathrm{C}_{7} \mathrm{H}_{8}+\mathrm{H}_{2} \rightarrow \mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{6}+\mathrm{CH}_{4}
Cuja taxa de consumo do tolueno pode ser escrita como: \left(-\mathrm{r}_{\mathrm{T}}\right)=\mathrm{k}_{\mathrm{t}} \cdot \mathrm{C}_{\mathrm{H} 2}{ }^{0,5} \mathrm{C} c7H8 mol/L.s
\mathrm{K}_{\mathrm{T}}: 3,5 \times 10^{10} \exp (-\mathrm{E} / \mathrm{RT}) . \mathrm{L}^{0,5} . \mathrm{mol}^{-0,5} \mathrm{~s}^{-1}
E: 50900 \mathrm{cal} / \mathrm{mol}.
Condições reacionais:
Reator: PFR
Calor de reação: -12,9 \mathrm{kcal} / \mathrm{mol}
Independente da temperatura todos os calores de reação são iguais a 36 cal/mol.K, alimentação de 2000 \mathrm{~mol} / \mathrm{h} de uma mistura contendo 50 \% de tolueno e 50 \% de \mathrm{H}_{2}, condições de alimentação: \mathrm{T}_{0}= 850^{\circ} \mathrm{C}, \mathrm{P}=1 \mathrm{~atm}.
Pede-se:
Caso o reator seja operado adiabaticamente, qual o volume necessário para atingir a mesma conversão?

Passo 1

O que o enunciado dá (dados importantes):
  • Reação: \mathrm{C}_7\mathrm{H}_8 + \mathrm{H}_2 \rightarrow \mathrm{C}_6\mathrm{H}_6 + \mathrm{CH}_4.
  • Lei de velocidade: \displaystyle \left(-r_T\right)=k_T\;C_{\mathrm{H}_2}^{0,5}\;C_{ \mathrm{C}_7\mathrm{H}_8} (mol·L{-1}·s{-1}).
  • Constante de velocidade: \displaystyle k_T=3{,}5\times10^{10}\exp\!\Big(-\dfrac{E}{R_{\text{cal}}T}\Big) with units \mathrm{L}^{0{,}5}\mathrm{mol}^{-0{,}5}\mathrm{s}^{-1}.
  • E=50900\\ \mathrm{cal\cdot mol^{-1}}.
  • Calor de reação: \Delta H_{rxn}=-12{,}9\\ \mathrm{kcal\cdot mol^{-1}}=-12900\\ \mathrm{cal\cdot mol^{-1}}.
  • Capacidade calorífica molar (assumida igual para todas as espécies e constante): C_p=36\\ \mathrm{cal\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
  • Alimentação: 2000\\ \mathrm{mol\cdot h^{-1}} total, com 50\% tolueno e 50\% \mathrm{H}_2. Então F_{A0}=1000\\ \mathrm{mol\cdot h^{-1}} (tolueno) e F_{T0}=F_{\text{total}}=2000\\ \mathrm{mol\cdot h^{-1}}.
  • Condições de alimentação: T_0=850^\circ\mathrm{C}=1123{,}15\\ \mathrm{K}, P=1\\ \mathrm{atm}.
  • Reator: PFR. Caso a operar adiabaticamente, pede-se: “qual o volume necessário para atingir a mesma conversão?”
Observação importante (ausência de dado): a pergunta fala em “a mesma conversão” — isto presume que existe uma conversão de referência (obtida num caso isoterma ou outro caso) que devemos igualar. Esse valor numérico da conversão de referência não foi fornecido no enunciado que você me enviou. Portanto não é possível dar um número final de volume sem esse valor.
No entanto, vou explicar passo a passo como calcular o volume do PFR adiabático para qualquer conversão alvo X (ou, se você me passar a conversão de referência, eu calculo o volume numérico).

Passo 2

Converter unidades e definir notação (para ficar tudo consistente e poder calcular depois):
  • Converto vazões para mol·s^{-1} (porque as taxas estão em mol·L{-1}·s{-1}): F_{A0}=\dfrac{1000}{3600}\\ \mathrm{mol\cdot s^{-1}}=0{,}2777778\\ \mathrm{mol\cdot s^{-1}}.
F_{\text{total}}=\dfrac{2000}{3600}\\ \mathrm{mol\cdot s^{-1}}=0{,}5555556\\ \mathrm{mol\cdot s^{-1}}.
  • Constante dos gases na unidade conveniente para concentração (mol·L^{-1}): R_{\text{gas}}=0{,}082057\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
  • Energia de ativação usa R_{\text{cal}}=1{,}987\\ \mathrm{cal\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}} (para a exponencial de Arrhenius, pois E está em cal·mol^{-1}).

Passo 3

Expressar concentrações em função da conversão X e da temperatura T.
Definimos X como conversão do tolueno: F_A = F_{A0}(1-X). Como a estequiometria é 1:1 e o número total de mols antes e depois da reação é o mesmo (2 → 2), o fluxo molar total é constante e igual a F_{\text{total}}. Assim a fração molar do tolueno é
y_A=\dfrac{F_{A}}{F_{\text{total}}}=\dfrac{F_{A0}(1-X)}{F_{\text{total}}}=\tfrac{1}{2}(1-X),
porque F_{A0}/F_{\text{total}}=1000/2000=1/2. O mesmo vale para \mathrm{H}_2:
y_{H_2}=\tfrac{1}{2}(1-X).
Usando a lei dos gases ideais, as concentrações são
C_A = y_A\frac{P}{R_{\text{gas}}T}=\tfrac{1}{2}(1-X)\frac{P}{R_{\text{gas}}T},
C_{H_2} = \tfrac{1}{2}(1-X)\frac{P}{R_{\text{gas}}T}.

Passo 4

Substituir na lei de velocidade para escrever (-r_A) em função de X e T.
A lei dada é (-r_A)=k(T)\;C_{H_2}^{0{,}5}\;C_A. Como C_A=C_{H_2}, temos
(-r_A)=k(T)\;C_A^{1{,}5}.
Substituindo C_A=\tfrac{1}{2}(1-X)\dfrac{P}{R_{\text{gas}}T} obtemos
\boxed{(-r_A)=k(T)\;2^{-1{,}5}\;(1-X)^{1{,}5}\left(\dfrac{P}{R_{\text{gas}}T}\right)^{1{,}5}.}

Passo 5

Equação de projeto do PFR e expressão geral para o volume em função de X.
Para um PFR temos
\dfrac{dF_A}{dV}=-r_A\quad\Rightarrow\quad dV=\dfrac{F_{A0}\,dX}{(-r_A)}.
Substituindo (-r_A) da caixa anterior:
\boxed{ \dfrac{dV}{dX}=\dfrac{F_{A0}}{k(T)\;2^{-1{,}5}\;(1-X)^{1{,}5}\left(\dfrac{P}{R_{\text{gas}}T}\right)^{1{,}5}} }
ou, reorganizando:
\boxed{ \dfrac{dV}{dX}=F_{A0}\;2^{1{,}5}\;\left(\dfrac{R_{\text{gas}}}{P}\right)^{1{,}5}\;\dfrac{T^{1{,}5}}{k(T)\;(1-X)^{1{,}5}}. }
Portanto o volume necessário para atingir uma conversão alvo X é
\boxed{ V(X)=F_{A0}\;2^{1{,}5}\;\left(\dfrac{R_{\text{gas}}}{P}\right)^{1{,}5}\;\int_{0}^{X}\dfrac{T(X')^{1{,}5}}{k\big(T(X')\big)\;(1-X')^{1{,}5}}\;dX'. }
Isto é a forma geral. Para o caso isoterma T(X')=T_0 e a integral pode ser feita analiticamente (porque k(T_0) é constante e temos \int (1-X')^{-1{,}5}dX'), mas para adiabático T varia com X e a integral normalmente precisa de solução numérica.

Passo 6

Equação de energia para o caso adiabático — relação direta entre T e X.
Para um PFR adiabático com Cp molar constante e fluxo molar total constante, a equação de energia em forma diferencial é
\sum_i F_i C_{p,i}\;dT = -\Delta H_{rxn}\;(-r_A)\;dV.
Aqui \sum_i F_i C_{p,i}=F_{\text{total}}\,C_p (Cp igual para todas as espécies). Substituindo dV = F_{A0}\,dX/(-r_A) (do balanço de espécie) cancela (-r_A) e obtemos uma relação simples:
F_{\text{total}} C_p\;dT = -\Delta H_{rxn}\;F_{A0}\;dX.
Logo
\boxed{ \dfrac{dT}{dX} = \dfrac{-\Delta H_{rxn}\;F_{A0}}{F_{\text{total}}\;C_p}. }
Note que -\Delta H_{rxn} é positivo (a reação é exotérmica), então dT/dX>0: a temperatura aumenta linearmente com X. Integrando,
\boxed{ T(X)=T_0 + \dfrac{-\Delta H_{rxn}\;F_{A0}}{F_{\text{total}}\;C_p}\;X. }
Substituindo os números:
-\Delta H_{rxn}=12900\\ \mathrm{cal\cdot mol^{-1}},\quad \dfrac{F_{A0}}{F_{\text{total}}}=\tfrac{1}{2},\quad C_p=36\\ \mathrm{cal\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}},
temos
\dfrac{dT}{dX}=\dfrac{12900\times \tfrac{1}{2}}{36}= \dfrac{6450}{36}=179{,}166\\ \mathrm{K\cdot (conversão)^{-1}}.ã
Portanto
\boxed{ T(X)=1123{,}15\\ \mathrm{K} \;+\;179{,}166\;X. }

Passo 7

Expressão prática e procedimento numérico para obter V adiabático para a conversão de referência.
A constante k(T) é dada por Arrhenius (usar R_{\text{cal}}=1{,}987\\ \mathrm{cal\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}):
\boxed{ k(T)=3{,}5\times10^{10}\exp\!\Big(-\dfrac{50900}{1{,}987\;T}\Big)\\ \mathrm{L^{0{,}5}\,mol^{-0{,}5}\,s^{-1}}. }
Substituindo T(X) da caixa anterior em k(T) e na expressão do passo 5, obtemos a integral conhecida:
\boxed{ V(X)=F_{A0}\;2^{1{,}5}\;\left(\dfrac{R_{\text{gas}}}{P}\right)^{1{,}5}\;\int_{0}^{X}\dfrac{\big(T_0+179{,}166\,X'\big)^{1{,}5}}{k\big(T_0+179{,}166\,X'\big)\;(1-X')^{1{,}5}}\;dX'. }
Procedimento prático para obter o volume numérico:
  1. Escolher a conversão alvo X_{\text{ref}} (a “mesma conversão” que você quer igualar — este é o valor que falta no enunciado).
  2. Avaliar numericamente a integral acima de X'=0 a X'=X_{\text{ref}}. Recomendo usar integração numérica (por exemplo, regra de Simpson ou uma rotina de quadratura) com divisão do intervalo em várias sub-intervalos, porque k(T) varia exponencialmente com T.
  3. Multiplicar pelo fator pré-integral numérico:
    • F_{A0}=0{,}2777778\\ \mathrm{mol\cdot s^{-1}}.
    • 2^{1{,}5}=2^{1.5}\approx 2{,}828427.
    • \left(\dfrac{R_{\text{gas}}}{P}\right)^{1{,}5}=\left(\dfrac{0{,}082057\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}}{1\\ \mathrm{atm}}\right)^{1{,}5}.
  4. O resultado dá V em litros (porque usamos R_{\text{gas}} em L·atm·mol{-1}·K{-1}, pressões em atm e k(T) tem unidades compatíveis com L e s). Se quiser em m^3, dividir por 1000.
Observação sobre computação: a integral é bem comportada no intervalo 0\le X<1, porém atenção a X muito próximo de 1 (o termo (1-X)^{-1{,}5} cresce fortemente). Em situações reais normalmente se calcula até uma conversão prática (por ex. 0{,}8 ou 0{,}9) e verifica-se se a temperatura alcançada permanece dentro dos limites permitidos.

Passo 8

Exemplo didático (como demonstrar numericamente se eu tivesse a conversão de referência)
Se você me disser X_{\text{ref}} eu procederia assim (resumido):
  • Montaria um grid de N pontos em X\in[0,X_{\text{ref}}].
  • Para cada ponto X_i calculo T_i=1123{,}15+179{,}166X_i.
  • Calculo k(T_i) pela fórmula de Arrhenius.
  • Avalio o integrando \dfrac{T_i^{1{,}5}}{k(T_i)(1-X_i)^{1{,}5}} e aplico regra de Simpson (ou outra) para aproximar a integral.
  • Multiplico pelo fator pré-integral para obter V.
    Se preferir, eu mesmo faço esse cálculo numérico para o X_{\text{ref}} que você me passar (ou para alguns valores típicos se você quiser exemplos).

Resposta

Não é possível calcular numericamente o volume porque o enunciado não informou o valor da “mesma conversão” (isto é, o valor de referência de conversão que devemos igualar). Forneça o valor da conversão de referência X (por exemplo X=0{,}5, 0{,}8, etc.) e eu faço o cálculo numérico do volume adiabático passo a passo.

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