A hidroalquilação é uma reação que pode ser usada para converter tolueno em benzeno, que normalmente é mais valioso que o tolueno. A reação é:
Cuja taxa de consumo do tolueno pode ser escrita como:
c7H8 mol/L.s
E:
.
Condições reacionais:
Reator: PFR
Calor de reação:
Independente da temperatura todos os calores de reação são iguais a 36 cal/mol.K, alimentação de
de uma mistura contendo
de tolueno e
de
, condições de alimentação:
.
Pede-se:
Caso o reator seja operado adiabaticamente, qual o volume necessário para atingir a mesma conversão?
Cuja taxa de consumo do tolueno pode ser escrita como:
E:
Condições reacionais:
Reator: PFR
Calor de reação:
Independente da temperatura todos os calores de reação são iguais a 36 cal/mol.K, alimentação de
Pede-se:
Caso o reator seja operado adiabaticamente, qual o volume necessário para atingir a mesma conversão?
Passo 1
O que o enunciado dá (dados importantes):
- Reação:
. - Lei de velocidade:
(mol·L{-1}·s{-1}). - Constante de velocidade:
with units . -
. - Calor de reação:
. - Capacidade calorífica molar (assumida igual para todas as espécies e constante):
. - Alimentação:
total, com tolueno e . Então (tolueno) e . - Condições de alimentação:
, . - Reator: PFR. Caso a operar adiabaticamente, pede-se: “qual o volume necessário para atingir a mesma conversão?”
Observação importante (ausência de dado): a pergunta fala em “a mesma conversão” — isto presume que existe uma conversão de referência (obtida num caso isoterma ou outro caso) que devemos igualar. Esse valor numérico da conversão de referência não foi fornecido no enunciado que você me enviou. Portanto não é possível dar um número final de volume sem esse valor.
No entanto, vou explicar passo a passo como calcular o volume do PFR adiabático para qualquer conversão alvo (ou, se você me passar a conversão de referência, eu calculo o volume numérico).
No entanto, vou explicar passo a passo como calcular o volume do PFR adiabático para qualquer conversão alvo
Passo 2
Converter unidades e definir notação (para ficar tudo consistente e poder calcular depois):
- Converto vazões para mol·s^{-1} (porque as taxas estão em mol·L{-1}·s{-1}):
- Constante dos gases na unidade conveniente para concentração (mol·L^{-1}):
- Energia de ativação usa
(para a exponencial de Arrhenius, pois está em cal·mol^{-1}).
Passo 3
Expressar concentrações em função da conversão
e da temperatura
.
Definimos
como conversão do tolueno:
. Como a estequiometria é 1:1 e o número total de mols antes e depois da reação é o mesmo (2 → 2), o fluxo molar total é constante e igual a
. Assim a fração molar do tolueno é
porque
. O mesmo vale para
:
Usando a lei dos gases ideais, as concentrações são
Passo 4
Substituir na lei de velocidade para escrever
em função de
e
.
A lei dada é
. Como
, temos
Substituindo
obtemos
Passo 5
Equação de projeto do PFR e expressão geral para o volume em função de
.
Para um PFR temos
Substituindo
da caixa anterior:
ou, reorganizando:
Portanto o volume necessário para atingir uma conversão alvo
é
Isto é a forma geral. Para o caso isoterma
e a integral pode ser feita analiticamente (porque
é constante e temos
), mas para adiabático
varia com
e a integral normalmente precisa de solução numérica.
Passo 6
Equação de energia para o caso adiabático — relação direta entre
e
.
Para um PFR adiabático com Cp molar constante e fluxo molar total constante, a equação de energia em forma diferencial é
Aqui
(Cp igual para todas as espécies). Substituindo
(do balanço de espécie) cancela
e obtemos uma relação simples:
Logo
Note que
é positivo (a reação é exotérmica), então
: a temperatura aumenta linearmente com
. Integrando,
Substituindo os números:
temos
Portanto
Passo 7
Expressão prática e procedimento numérico para obter
adiabático para a conversão de referência.
A constante
é dada por Arrhenius (usar
):
Substituindo
da caixa anterior em
e na expressão do passo 5, obtemos a integral conhecida:
Procedimento prático para obter o volume numérico:
- Escolher a conversão alvo
(a “mesma conversão” que você quer igualar — este é o valor que falta no enunciado). - Avaliar numericamente a integral acima de
a . Recomendo usar integração numérica (por exemplo, regra de Simpson ou uma rotina de quadratura) com divisão do intervalo em várias sub-intervalos, porque varia exponencialmente com . - Multiplicar pelo fator pré-integral numérico:
-
. -
. -
.
-
- O resultado dá
em litros (porque usamos em L·atm·mol{-1}·K{-1}, pressões em atm e tem unidades compatíveis com L e s). Se quiser em m^3, dividir por .
Observação sobre computação: a integral é bem comportada no intervalo
, porém atenção a
muito próximo de
(o termo
cresce fortemente). Em situações reais normalmente se calcula até uma conversão prática (por ex. 0{,}8 ou 0{,}9) e verifica-se se a temperatura alcançada permanece dentro dos limites permitidos.
Passo 8
Exemplo didático (como demonstrar numericamente se eu tivesse a conversão de referência)
Se você me disser
eu procederia assim (resumido):
- Montaria um grid de
pontos em . - Para cada ponto
calculo . - Calculo
pela fórmula de Arrhenius. - Avalio o integrando
e aplico regra de Simpson (ou outra) para aproximar a integral. - Multiplico pelo fator pré-integral para obter
.
Se preferir, eu mesmo faço esse cálculo numérico para oque você me passar (ou para alguns valores típicos se você quiser exemplos).
Resposta
Não é possível calcular numericamente o volume porque o enunciado não informou o valor da “mesma conversão” (isto é, o valor de referência de conversão que devemos igualar). Forneça o valor da conversão de referência
(por exemplo
,
, etc.) e eu faço o cálculo numérico do volume adiabático passo a passo.