(\mathbf{2 , 0} \mathbf{~ p}) )- Se a afirmação for verdadeira demonstre-a caso contrário de um contra exemplo.
Não é possível construir uma sequência de números racionais que converge para um número irracional.
Não é possível construir uma sequência de números racionais que converge para um número irracional.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa e, conforme o caso, demonstrá-la ou dar um contraexemplo:
“Afirmativa: Não é possível construir uma sequência de números racionais que converge para um número irracional.”
Informações dadas que são relevantes:
A afirmação fala de sequências de números racionais.
A afirmação afirma que nenhuma sequência de racionais pode ter limite irracional.
A tarefa é ou provar que isso é sempre verdade ou fornecer um contraexemplo (uma sequência de racionais cujo limite é um número irracional).
Passo 2
Intuição rápida e estratégia (sem resolver ainda): a frase parece forte — diz que “nenhuma” sequência racional pode convergir para irracional. Uma maneira direta de refutar uma afirmação universal é dar um contraexemplo: apresentar UMA sequência formada só por números racionais que converge para um número irracional. Vou construir uma sequência explícita e provar que ela converge para
(que é irracional). Assim basta um único exemplo para mostrar que a afirmação é falsa.
Passo 3
Construção explícita da sequência (fácil de imaginar na prova): vamos aproximar
por truncamentos decimais. Para cada
defina
onde
é a parte inteira (arredondamento para baixo) de
. Explico por que essa definição é boa:
- Para cada
, é um número real; ao aplicar a obtemos um inteiro. Dividindo por obtemos um número racional com no máximo casas decimais, ou seja, . - Intuitivamente,
é a truncatura de na -ésima casa decimal: por exemplo , , , etc.
Passo 4
Mostro que a sequência
é composta só de racionais e que converge para
.
Primeiro, cada
é racional porque
é um inteiro e
é inteiro, logo a razão é racional:
Agora estimativa do erro entre
e
. Pela definição de
temos
Dividindo tudo por
obtemos
Daí, como
, a diferença absoluta satisfaz
Portanto
Passo 5
Prova formal de convergência (epsilon–N), para montar a prova que você poderia usar na prova do curso):
Seja
. Escolha
tal que
Isto é possível porque
quando
. Para todo
temos, pela desigualdade do passo anterior,
Logo, por definição de limite,
.
Passo 6
Conclusão e comentário final didático e motivador: construímos uma sequência
formada exclusivamente por números racionais que converge para
, que é irracional. Isso é um contraexemplo direto à afirmação do enunciado. Mais geralmente, isso ilustra o fato importante (útil na prova) de que os números racionais são densos em
: entre quaisquer dois reais existe um racional, e portanto para qualquer real (irracional incluso) existe uma sequência de racionais convergindo a ele. Se estiver nervoso para a prova: decorar a construção por truncamento decimal e a prova via
é uma ótima arma prática — dá um contraexemplo explícito e uma prova epsilon–N curinga.
Resposta
Falso. Contraexemplo: a sequência
é toda racional e converge para
(irracional).