(\mathbf{2 , 0} \mathbf{~ p}) )- Se a afirmação for verdadeira demonstre-a caso contrário de um contra exemplo.
Não é possível construir uma sequência de números racionais que converge para um número irracional.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a afirmação a seguir é verdadeira ou falsa e, conforme o caso, demonstrá-la ou dar um contraexemplo:
“Afirmativa: Não é possível construir uma sequência de números racionais que converge para um número irracional.”
Informações dadas que são relevantes:
\bullet A afirmação fala de sequências de números racionais.
\bullet A afirmação afirma que nenhuma sequência de racionais pode ter limite irracional.
\bullet A tarefa é ou provar que isso é sempre verdade ou fornecer um contraexemplo (uma sequência de racionais cujo limite é um número irracional).

Passo 2

Intuição rápida e estratégia (sem resolver ainda): a frase parece forte — diz que “nenhuma” sequência racional pode convergir para irracional. Uma maneira direta de refutar uma afirmação universal é dar um contraexemplo: apresentar UMA sequência formada só por números racionais que converge para um número irracional. Vou construir uma sequência explícita e provar que ela converge para \sqrt{2} (que é irracional). Assim basta um único exemplo para mostrar que a afirmação é falsa.

Passo 3

Construção explícita da sequência (fácil de imaginar na prova): vamos aproximar \sqrt{2} por truncamentos decimais. Para cada n\in\mathbb{N} defina
q_n = \frac{\lfloor 10^n\sqrt{2}\rfloor}{10^n},
onde \lfloor x\rfloor é a parte inteira (arredondamento para baixo) de x. Explico por que essa definição é boa:
  • Para cada n, 10^n\sqrt{2} é um número real; ao aplicar a \lfloor\cdot\rfloor obtemos um inteiro. Dividindo por 10^n obtemos um número racional com no máximo n casas decimais, ou seja, q_n\in\mathbb{Q}.
  • Intuitivamente, q_n é a truncatura de \sqrt{2} na n-ésima casa decimal: por exemplo q_1=1{,}4, q_2=1{,}41, q_3=1{,}414, etc.

Passo 4

Mostro que a sequência (q_n) é composta só de racionais e que converge para \sqrt{2}.
Primeiro, cada q_n é racional porque \lfloor 10^n\sqrt{2}\rfloor é um inteiro e 10^n é inteiro, logo a razão é racional:
q_n\in\mathbb{Q}\quad\text{para todo }n.
Agora estimativa do erro entre q_n e \sqrt{2}. Pela definição de \lfloor\cdot\rfloor temos
\lfloor 10^n\sqrt{2}\rfloor \le 10^n\sqrt{2} < \lfloor 10^n\sqrt{2}\rfloor +1.
Dividindo tudo por 10^n obtemos
q_n \le \sqrt{2} < q_n + \frac{1}{10^n}.
Daí, como q_n\le\sqrt{2}, a diferença absoluta satisfaz
0 \le \sqrt{2}-q_n < \frac{1}{10^n}.
Portanto
|q_n-\sqrt{2}| < 10^{-n}.

Passo 5

Prova formal de convergência (epsilon–N), para montar a prova que você poderia usar na prova do curso):
Seja \varepsilon>0. Escolha N\in\mathbb{N} tal que
10^{-N} < \varepsilon.
Isto é possível porque 10^{-n}\to 0 quando n\to\infty. Para todo n\ge N temos, pela desigualdade do passo anterior,
|q_n-\sqrt{2}| < 10^{-n} \le 10^{-N} < \varepsilon.
Logo, por definição de limite, \lim_{n\to\infty} q_n = \sqrt{2}.

Passo 6

Conclusão e comentário final didático e motivador: construímos uma sequência (q_n) formada exclusivamente por números racionais que converge para \sqrt{2}, que é irracional. Isso é um contraexemplo direto à afirmação do enunciado. Mais geralmente, isso ilustra o fato importante (útil na prova) de que os números racionais são densos em \mathbb{R}: entre quaisquer dois reais existe um racional, e portanto para qualquer real (irracional incluso) existe uma sequência de racionais convergindo a ele. Se estiver nervoso para a prova: decorar a construção por truncamento decimal e a prova via 10^{-n} é uma ótima arma prática — dá um contraexemplo explícito e uma prova epsilon–N curinga.

Resposta

Falso. Contraexemplo: a sequência \displaystyle q_n=\frac{\lfloor 10^n\sqrt{2}\rfloor}{10^n} é toda racional e converge para \sqrt{2} (irracional).

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