Um hidrofólio de 0,37 \mathrm{~m} de comprimento e 1,83 \mathrm{~m} de largura é colocado em um escoamento de água de 12,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, com \rho=1,025 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e v=1,02 \cdot 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}. Calcule a espessura da camada limite e o coeficiente de arrasto. \mathbf{R}: 6,67 \mathrm{~mm} ; 0,00354
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (pegos do enunciado):
Comprimento do hidrofólio: L=0,37\\ \mathrm{m}.
Envergadura / largura: b=1,83\\ \mathrm{m} (será usada apenas se precisássemos de força total; aqui pedem camada-limite e coeficiente de arrasto).
Velocidade do escoamento: U=12,2\\ \mathrm{m/s}.
Densidade da água: \rho=1,025\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Comentário breve: \mathrm{Re}_L\approx4{,}4\times10^{6} é bem grande, portanto o escoamento sobre o perfil vai transitar para turbulento a partir de um certo x relativamente pequeno.
Passo 3
Determinar onde ocorre a transição (aproximação prática): usa-se tipicamente \mathrm{Re}_{x,\text{crit}}\approx 5\times10^{5}. A posição de transição aproximada é
Interpretação: a camada é laminar até cerca de 4{,}18\\ \mathrm{cm} da borda de ataque; depois disso fica turbulenta até o final em L=0{,}37\\ \mathrm{m}. Assim, a maior parte do comprimento está em camada-limite turbulenta — por isso é razoável calcular a espessura final e o coeficiente usando correlações turbulentas (1/7–law etc.), com a ressalva de que a parte laminar é curta.
Passo 4
Explicando as fórmulas que vamos usar (aula curta e prática):
Camada-limite laminar (Blasius, espessura 99%): \displaystyle \delta_{\text{lam}}(x)\approx 5{,}0\sqrt{\frac{\nu x}{U}}. Aqui \delta é espessura onde a velocidade atinge \approx99\% de U.
Camada-limite turbulenta em escoamento completamente desenvolvido sem pressão favorável: existem várias aproximações. Uma clássica é a “1/7–power law” que dá a relação\frac{\delta_{99}}{x}\approx 0{,}16\,\mathrm{Re}_x^{-1/7}.Aqui \mathrm{Re}_x=\dfrac{U x}{\nu} e essa expressão é útil quando a camada é turbulenta na maior parte do trecho. Explico as variáveis:
\delta_{99} é a espessura onde u=0{,}99\,U.
x é a coordenada ao longo da placa medida desde a borda de ataque.
\mathrm{Re}_x é o número de Reynolds local.
Justificativa do método: como x_{\text{tr}}/L\approx 0{,}042/0{,}37\approx0{,}11 (apenas 11% laminar), é razoável usar a correlação turbulenta para estimar \delta em x=L. Essa é a aproximação comumente usada em exercícios práticos.
Passo 5
Calcule a espessura da camada-limite no bordo de fuga (em x=L) usando a fórmula turbulenta \delta_{99}=0{,}16\,x\,\mathrm{Re}_x^{-1/7} com x=L.
Breve comentário didático: isso significa que, perto da saída do perfil, a camada onde a velocidade cresce de zero (na superfície) até quase U tem espessura da ordem de alguns milímetros — pequeno comparado com o comprimento, mas importante para atrito.
Passo 6
Agora vamos ao coeficiente de arrasto por atrito de pele C_f. Conceito rápido e fórmula usada:
O coeficiente de atrito médio sobre uma placa inteira no regime turbulento é frequentemente aproximado por\overline{C_f}\approx 0{,}074\,\mathrm{Re}_L^{-1/5}.Aqui \overline{C_f} é o coeficiente médio (adimensional) tal que a força de atrito total por unidade de área projetada é F_{\tau} = \tfrac{1}{2}\rho U^2 \overline{C_f} \times (\text{área})á.
Justificativa do uso: como a região turbulenta domina o comprimento, essa correlação empírica é a mais prática para obter o coeficiente médio. (Se quiséssemos maior precisão poderíamos integrar localmente o coeficiente nas regiões laminar e turbulenta, mas para aplicações de prova essa aproximação é a padrão.)
Passo 7
Calcule \overline{C_f} usando \mathrm{Re}_L.
\overline{C_f}=0{,}074\,\mathrm{Re}_L^{-1/5}.
Primeiro calcule \mathrm{Re}_L^{-1/5} numericamente (passos intermediários omitidos para não entupir, mas é o mesmo procedimento exponencial comentado antes):
Interpretação: \overline{C_f}\approx 3{,}54\times10^{-3}. Esse é um coeficiente típico de um escoamento de água rápido com camada turbulenta sobre uma superfície lisa.
Passo 8
Resumo rápido e incentivo: conseguimos estimar a espessura da camada limite e o coeficiente de atrito usando regras empíricas apropriadas (1/7–law para espessura e correlação \overline{C_f}=0{,}074\mathrm{Re}^{-1/5} para o atrito médio). A parte laminar é pequena aqui (transição aos \sim4\\ \mathrm{cm}), então o procedimento é consistente. Vai dar tudo certo na prova — foque em identificar se a camada é laminar ou turbulenta e lembrar dessas fórmulas padrão.