Uma placa plana com 50 cm de comprimento e 3 m de largura está imersa paralelamente a uma corrente de velocidade 2,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine o arrasto sobre um lado da placa e a espessura da camada limite laminar para o ar a 20^{\circ} \mathrm{C}. Dados: v_{a r}=1,50.10^{-5} \mathrm{m}^{2} / \mathrm{s} . \mathbf{R}: 4,6.10^{-3} ; 8,66.10^{-3} \mathrm{~m}

Passo 1

O enunciado dá uma placa plana de comprimento (no sentido do escoamento) e largura (no sentido transversal) imersa paralelamente a uma corrente de ar com velocidade constante. Os dados fornecidos são:
  • comprimento da placa: \;L=0,50\\ \mathrm{m};
  • largura (no plano da placa, perpendicular a L): \;b=3,0\\ \mathrm{m};
  • velocidade livre da corrente: \;U_\infty=2,5\\ \mathrm{m/s};
  • viscosidade cinemática do ar: \;\nu=1,50\cdot 10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s};
  • temperatura do ar: \;20^\circ\mathrm{C} (para obter densidade, se necessário).
O que se pede:
  1. determinar o arrasto sobre um lado da placa (isto é, a força de arrasto exercida pelo ar sobre uma face da placa);
  2. determinar a espessura da camada limite laminar sobre a placa no fim do comprimento (x=L).
Observação: o enunciado não forneceu explicitamente a densidade do ar \rho. Para calcular força de arrasto (N) é preciso \rho; vou usar o valor padrão da densidade do ar a 20^\circ\mathrm{C}:
\rho = 1,204\\ \mathrm{kg/m^3}.
Se no exame tivesse outro valor, substituir sem alterar o procedimento.

Passo 2

Identificar o regime do escoamento por número de Reynolds baseado no comprimento \;L:
\mathrm{Re}_L = \dfrac{U_\infty L}{\nu}.
Substituindo dados:
\mathrm{Re}_L = \dfrac{2,5\cdot 0,50}{1,50\cdot 10^{-5}} = \dfrac{1,25}{1,50\cdot 10^{-5}} \approx 8,33\cdot 10^{4}.
Comentário didático: o número de Reynolds \mathrm{Re}_L compara efeitos de inércia e viscosos ao longo da placa. Valores pequenos implicam dominância viscosa; aqui \mathrm{Re}_L\sim 8{,}3\times 10^{4} é relativamente moderado e corresponde a uma camada limite que, inicialmente, pode ser considerada laminar (a transição típica em placa plana livre costuma ocorrer em \mathrm{Re}_x da ordem de 3\times10^{5} a 10^{6}). Portanto, para x\le L com este L é razoável tratar a camada limite como laminar e usar as fórmulas clássicas de Blasius.

Passo 3

Aprendendo a fórmula do coeficiente de atrito (aula curta): para escoamento laminar sobre placa plana com fluxo livre uniforme e gradiente de pressão nulo, o coeficiente de atrito local (não adimensional) é dado por
c_{f,x} = \dfrac{0,664}{\sqrt{\mathrm{Re}_x}},
onde \mathrm{Re}_x = \dfrac{U_\infty x}{\nu} e x é a distância desde a borda dianteira até o ponto considerado. Esse resultado vem da solução de Blasius da equação da camada limite linearizada; não é necessário derivar tudo na prova, mas é importante saber de onde vem: é a solução autossimilar que relaciona o gradiente de velocidade junto à parede ao parâmetro de Reynolds local.
Para obter o coeficiente de atrito médio sobre a placa de x=0 a x=L aplicamos
\bar{c}_f = \dfrac{1}{L}\int_{0}^{L} c_{f,x}\,dx = \dfrac{1}{L}\int_{0}^{L} \dfrac{0,664}{\sqrt{\dfrac{U_\infty x}{\nu}}}\,dx.
Fazendo a integral (mostro o passo para você reproduzir na prova):
\bar{c}_f = \dfrac{0,664}{L}\sqrt{\dfrac{\nu}{U_\infty}}\int_{0}^{L} x^{-1/2}\,dx = \dfrac{0,664}{L}\sqrt{\dfrac{\nu}{U_\infty}}\left[ 2 x^{1/2} \right]_{0}^{L}.
Portanto
\bar{c}_f = \dfrac{0,664\cdot 2}{L}\sqrt{\dfrac{\nu}{U_\infty}}\,L^{1/2} = \dfrac{1,328}{\sqrt{\mathrm{Re}_L}}.
Resumo didático: \;c_{f,x}\propto \mathrm{Re}_x^{-1/2} e a média sobre 0 a L fornece o fator 1,328.

Passo 4

Calcular numericamente o coeficiente de atrito médio sobre a placa:
\bar{c}_f = \dfrac{1,328}{\sqrt{\mathrm{Re}_L}} = \dfrac{1,328}{\sqrt{8,33\cdot 10^{4}}}.
Primeiro a raiz:
\sqrt{8,33\cdot 10^{4}}\approx 2,88675\cdot 10^{2}.
Logo
\bar{c}_f \approx \dfrac{1,328}{2,88675\cdot 10^{2}} \approx 4,60\cdot 10^{-3}.
Interpretação: \bar{c}_f é adimensional e representa a razão entre a força de cisalhamento média por unidade de área dinâmica \tfrac{1}{2}\rho U_\infty^2.

Passo 5

Converter o coeficiente médio em arrasto (força) sobre um lado da placa.
Fórmula da força de arrasto por um lado:
D = \tfrac{1}{2}\,\rho\,U_\infty^{2}\,\bar{c}_f\,A,
onde A é a área da face considerada:
A = L\cdot b = 0,50\cdot 3,0 = 1,50\\ \mathrm{m^2}.
Usando \rho = 1,204\\ \mathrm{kg/m^3}:
calcular a pressão dinâmica
q = \tfrac{1}{2}\rho U_\infty^{2} = \tfrac{1}{2}\cdot 1,204\cdot (2,5)^{2} = 3,75625\\ \mathrm{Pa}.
Logo a força de arrasto:
D = q\cdot \bar{c}_f \cdot A = 3,75625 \cdot 4,60\cdot 10^{-3} \cdot 1,50 \approx 2,60\cdot 10^{-2}\\ \mathrm{N}.
Arredondando razoavelmente: D\approx 0,026\\ \mathrm{N}.
Comentário didático e de exame: se o enunciado quisesse apenas o coeficiente de atrito médio (muitas vezes chamado “arrasto adimensional”), a resposta seria \bar{c}_f. Se pedir explícito “arrasto” em Newtons, deve-se multiplicar por \tfrac{1}{2}\rho U^2 A como fizemos. Sempre confira se a densidade foi dada; caso contrário, informe que usei o valor padrão para ar a 20^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Calcular a espessura da camada limite laminar no final da placa.
Definição prática e fórmula utilizada: a espessura da camada limite \delta (usualmente tomada como \delta_{99}, onde u=0{,}99\,U_\infty) para escoamento laminar sobre placa plana é aproximadamente
\delta(x) \approx \dfrac{5\,x}{\sqrt{\mathrm{Re}_x}}.
No final da placa, x=L, tem-se
\delta(L) = \dfrac{5\,L}{\sqrt{\mathrm{Re}_L}}.
Substituindo valores:
\delta(L) = \dfrac{5\cdot 0,50}{2,88675\cdot 10^{2}} = \dfrac{2,5}{288,675} \approx 8,66\cdot 10^{-3}\\ \mathrm{m}.
Portanto \delta(L)\approx 0,00866\\ \mathrm{m}, ou 8,66\\ \mathrm{mm}.
Comentário prático: essa fórmula \delta\approx 5x/\sqrt{\mathrm{Re}_x} é empírica/derivada da solução de Blasius e é muito usada em provas — memorize o fator 5 para \delta_{99} em laminar.

Resposta

Arrasto sobre um lado da placa: \;D\approx 2,60\cdot 10^{-2}\\ \mathrm{N}.\nEspessura da camada limite no final da placa: \;\delta(L)\approx 8,66\cdot 10^{-3}\\ \mathrm{m}.

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