Uma placa plana com 50 cm de comprimento e 3 m de largura está imersa paralelamente a uma corrente de velocidade
. Determine o arrasto sobre um lado da placa e a espessura da camada limite laminar para o ar a
. Dados:
Passo 1
O enunciado dá uma placa plana de comprimento (no sentido do escoamento) e largura (no sentido transversal) imersa paralelamente a uma corrente de ar com velocidade constante. Os dados fornecidos são:
- comprimento da placa:
; - largura (no plano da placa, perpendicular a
): ; - velocidade livre da corrente:
; - viscosidade cinemática do ar:
; - temperatura do ar:
(para obter densidade, se necessário).
O que se pede:
- determinar o arrasto sobre um lado da placa (isto é, a força de arrasto exercida pelo ar sobre uma face da placa);
- determinar a espessura da camada limite laminar sobre a placa no fim do comprimento
.
Observação: o enunciado não forneceu explicitamente a densidade do ar
. Para calcular força de arrasto (N) é preciso
; vou usar o valor padrão da densidade do ar a
:
Se no exame tivesse outro valor, substituir sem alterar o procedimento.
Passo 2
Identificar o regime do escoamento por número de Reynolds baseado no comprimento
:
Substituindo dados:
Comentário didático: o número de Reynolds
compara efeitos de inércia e viscosos ao longo da placa. Valores pequenos implicam dominância viscosa; aqui
é relativamente moderado e corresponde a uma camada limite que, inicialmente, pode ser considerada laminar (a transição típica em placa plana livre costuma ocorrer em
da ordem de
a
). Portanto, para
com este
é razoável tratar a camada limite como laminar e usar as fórmulas clássicas de Blasius.
Passo 3
Aprendendo a fórmula do coeficiente de atrito (aula curta): para escoamento laminar sobre placa plana com fluxo livre uniforme e gradiente de pressão nulo, o coeficiente de atrito local (não adimensional) é dado por
onde
e
é a distância desde a borda dianteira até o ponto considerado. Esse resultado vem da solução de Blasius da equação da camada limite linearizada; não é necessário derivar tudo na prova, mas é importante saber de onde vem: é a solução autossimilar que relaciona o gradiente de velocidade junto à parede ao parâmetro de Reynolds local.
Para obter o coeficiente de atrito médio sobre a placa de
a
aplicamos
Fazendo a integral (mostro o passo para você reproduzir na prova):
Portanto
Resumo didático:
e a média sobre
a
fornece o fator 1,328.
Passo 4
Calcular numericamente o coeficiente de atrito médio sobre a placa:
Primeiro a raiz:
Logo
Interpretação:
é adimensional e representa a razão entre a força de cisalhamento média por unidade de área dinâmica
.
Passo 5
Converter o coeficiente médio em arrasto (força) sobre um lado da placa.
Fórmula da força de arrasto por um lado:
onde
é a área da face considerada:
Usando
:
calcular a pressão dinâmica
calcular a pressão dinâmica
Logo a força de arrasto:
Arredondando razoavelmente:
.
Comentário didático e de exame: se o enunciado quisesse apenas o coeficiente de atrito médio (muitas vezes chamado “arrasto adimensional”), a resposta seria
. Se pedir explícito “arrasto” em Newtons, deve-se multiplicar por
como fizemos. Sempre confira se a densidade foi dada; caso contrário, informe que usei o valor padrão para ar a
.
Passo 6
Calcular a espessura da camada limite laminar no final da placa.
Definição prática e fórmula utilizada: a espessura da camada limite
(usualmente tomada como
, onde
) para escoamento laminar sobre placa plana é aproximadamente
No final da placa,
, tem-se
Substituindo valores:
Portanto
, ou
.
Comentário prático: essa fórmula
é empírica/derivada da solução de Blasius e é muito usada em provas — memorize o fator 5 para
em laminar.
Resposta
Arrasto sobre um lado da placa:
.\nEspessura da camada limite no final da placa:
.