Exercício: Um tubo de vidro com diâmetro de 2 mm é inserido em água a 15^{\circ} \mathrm{C}. determine a altura a que a água subirá no tubo. { }^{3}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a altura a que a água sobe num tubo de vidro de diâmetro 2\\ \text{mm} quando o tubo é inserido em água a 15^\circ\text{C}.
Dados fornecidos (peguei diretamente do enunciado):
  • Diâmetro do tubo: d=2\\ \text{mm}.
  • Temperatura da água: 15^\circ\text{C}.
Observação importante (informação necessária para calcular): será preciso usar a tensão superficial da água \gamma, a densidade da água \rho à temperatura dada, a aceleração da gravidade g e o ângulo de contato \theta entre água e vidro. Esses valores não vieram no enunciado, então vamos adotar valores tabelados razoáveis para 15^\circ\text{C} e justificar a aproximação do ângulo de contato.

Passo 2

Explicando o princípio físico (passo-a-passo didático). A subida capilar ocorre porque a interface água-ar curva-se dentro do tubo; a curva produz uma diferença de pressão entre dentro do líquido na região do menisco e a pressão fora, e essa diferença sustenta uma coluna de líquido de altura h.
A relação fundamental é o balanço entre a pressão capilar (devido à tensão superficial) e a pressão hidrostática:
\rho g h = \Delta p,
onde
  • \rho é a densidade da água (kg/m ^3),
  • g é a aceleração da gravidade (m/s ^2),
  • h é a altura de subida (m),
  • \Delta p é a diferença de pressão através do menisco causada pela curvatura da superfície.
A lei de Young–Laplace diz que, para uma superfície com curvatura média 1/R,
\Delta p = 2\gamma \cdot \frac{1}{R},
onde \gamma é a tensão superficial (N/m) e R é o raio de curvatura do menisco. Para um tubo capilar cilíndrico de raio interno r com ângulo de contato \theta (ângulo entre superfície líquida e parede do vidro), a curvatura efetiva do menisco leva à fórmula conhecida
\Delta p = \frac{2\gamma\cos\theta}{r}.
Explicação do termo \cos\theta: se o líquido molha bem a parede ( \theta pequeno), a curva fica mais “achatada” e a componente vertical da força de tensão superficial que puxa o líquido para cima é proporcional a \cos\theta.
Unindo os dois balanços:
\rho g h = \frac{2\gamma\cos\theta}{r}.
Como o enunciado deu o diâmetro d, usamos r=\dfrac{d}{2}. Isolando h obtemos a fórmula prática
h=\frac{4\gamma\cos\theta}{\rho g d}.
Aqui:
  • h é a altura buscada (m),
  • \gamma é a tensão superficial da água (N/m),
  • \theta é o ângulo de contato entre água e vidro (radianos ou graus; usamos \cos\theta),
  • \rho é a densidade da água (kg/m ^3),
  • g é 9{,}81\\ \text{m/s}^2,
  • d é o diâmetro interno do tubo (m).

Passo 3

Escolha dos valores numéricos e justificativa:
  • Converter d: d=2\\ \text{mm}=0{,}002\\ \text{m}.
  • Aceleração da gravidade: g=9{,}81\\ \text{m/s}^2.
  • Densidade da água a 15^\circ\text{C}: tomo \rho = 999{,}1\\ \text{kg/m}^3 (valor tabelado aproximado).
  • Tensão superficial da água a 15^\circ\text{C}: tomo \gamma = 0{,}0739\\ \text{N/m} (valor tabelado aproximado; a tensão superficial aumenta ligeiramente ao reduzir a temperatura).
  • Ângulo de contato água–vidro: a água molha bem o vidro, portanto usamos a aproximação \theta\approx 0^\circ, logo \cos\theta\approx 1. Se \theta fosse maior, a altura diminuiria por fator \cos\theta.
Observação pedagógica curta: se quiser uma resposta mais refinada, pode usar valores tabelados precisos para \gamma e \rho da referência da sua apostila; isso muda o resultado só nas casas decimais.

Passo 4

Substituição na fórmula e contas passo a passo (sem pular etapas):
h=\frac{4\gamma\cos\theta}{\rho g d}.
Com \cos\theta\approx 1, fica
h=\frac{4\gamma}{\rho g d}.
Substituindo números (todos em unidades SI):
\gamma=0{,}0739\\ \text{N/m},\quad \rho=999{,}1\\ \text{kg/m}^3,\quad g=9{,}81\\ \text{m/s}^2,\quad d=0{,}002\\ \text{m}.
Calculando o numerador:
4\gamma = 4\times 0{,}0739 = 0{,}2956\\ \text{N/m}.
Calculando o denominador:
\rho g d = 999{,}1\times 9{,}81\times 0{,}002.
Primeiro 9{,}81\times 0{,}002 = 0{,}01962.
Então \rho g d = 999{,}1\times 0{,}01962 = 19{,}602342\\ \text{N/m}^2 (note as unidades equivalentes para produzir h em metros).
Agora a divisão:
h = \frac{0{,}2956}{19{,}602342}\approx 0{,}015088\\ \text{m}.
Arredondando de forma prática:
h\approx 0{,}0151\\ \text{m} \approx 1{,}51\\ \text{cm}.

Passo 5

Interpretação e comentários práticos (estilo amigo e encorajador):
  • Resultado: a água sobe cerca de 1{,}5\\ \text{cm} num tubo com diâmetro 2\\ \text{mm}. Não é uma altura enorme — tubos finos (diâmetro menor) produzem subidas maiores; se o tubo fosse de 0{,}5\\ \text{mm} a altura subiria por um fator 4 (pois h\propto 1/d).
  • Sensibilidade: se o ângulo de contato não for exatamente zero, multiplica-se por \cos\theta. Por exemplo, se \theta=20^\circ então \cos20^\circ\approx 0{,}94 e h seria cerca de 6\% menor.
  • Dica para prova: memorize a forma h=\dfrac{4\gamma\cos\theta}{\rho g d} (ou h=\dfrac{2\gamma\cos\theta}{\rho g r} em termos do raio) e saiba justificar a origem pelo balanço Young–Laplace vs. peso da coluna de líquido.

Resposta

h\approx 0{,}0151\\ \text{m}\approx 1{,}51\\ \text{cm}

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