A hipérbole
\frac{y^{2}}{16}-\frac{x^{2}}{4}=1
possui um ponto P cuja diferença de distâncias aos focos é 6. Determine se P pode pertencer à hipérbole (geométrica e analiticamente).

Passo 1

O enunciado dá a hipérbole
\frac{y^{2}}{16}-\frac{x^{2}}{4}=1
e pergunta se existe um ponto P desta hipérbole cuja diferença das distâncias de P aos dois focos valha 6.
Informações relevantes fornecidas:
\text{hipérbole: }\frac{y^{2}}{16}-\frac{x^{2}}{4}=1,é
há um ponto P tal que |PF_1-PF_2|=6 (isso é o que nos é dado na hipótese e que precisamos testar).

Passo 2

Identificar os parâmetros canônicos da hipérbole. A equação está na forma canônica vertical
\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1,
portanto podemos ler diretamente:
a^{2}=16,\qquad b^{2}=4.
Logo
a=4,\qquad b=2.
Os focos ficam no eixo y (porque a hipérbole é vertical) nas posições
F_{1}=(0,c),\qquad F_{2}=(0,-c),
onde c satisfaz a relação clássica
c^{2}=a^{2}+b^{2}.
Calculando:
c^{2}=16+4=20,\qquad c=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.

Passo 3

Explicar geometricamente a propriedade fundamental da hipérbole (aula curta e intuitiva).
Definição geométrica da hipérbole: é o lugar geométrico dos pontos P tais que a diferença absoluta das distâncias de P aos dois focos é constante. Essa constante é, por definição do sistema canônico, igual a 2a. Ou seja, para qualquer ponto P da hipérbole vale
|PF_{1}-PF_{2}|=2a.
Aqui a é o semi-eixo transverso (o número que apareceu na equação canônica). Essa propriedade é exatamente a que gera a equação canônica quando você parte da definição com focos e diferença constante — é a definição equivalente de hipérbole. Um exemplo simples: para a hipérbole \dfrac{x^{2}}{9}-\dfrac{y^{2}}{4}=1 teríamos a=3 e portanto a diferença constante seria 2a=6.

Passo 4

Aplicando a propriedade ao caso concreto (argumento geométrico final). Como encontramos em
2a=2\cdot 4=8.
Logo geometricamente não pode haver ponto P da hipérbole cuja diferença de distâncias seja 6, pois para qualquer ponto da hipérbole essa diferença deve ser 8. Portanto a hipótese |PF_1-PF_2|=6 contradiz a definição da hipérbole dada pela equação.
Argumento analítico curto (confirmando o raciocínio por identificação de parâmetros). A equação dada é canônica com a^{2}=16, portanto a=4. A propriedade analítica/lugar geométrico da hipérbole implica imediatamente que a diferença constante de distâncias é 2a. Não é necessário calcular distâncias ponto a ponto: a própria forma canônica da equação determina essa constante. Assim novamente obtemos que a diferença é 2a=8, não 6. Qualquer tentativa de impor |PF_1-PF_2|=6 levaria a uma contradição com a equação dada.
Resumo didático e incentivo rápido. Em linguagem simples: a hipérbole que você deu tem “diferença de focos” fixa igual a 8. Pedir que haja um ponto com diferença igual a 6 é como pedir que um círculo de raio 3 seja igual a um de raio 4: não bate com a definição. Fica tranquilo — identificar a e lembrar que a diferença é 2a resolve muita coisa rápido.

Resposta

Não. P não pode pertencer à hipérbole; para qualquer ponto da hipérbole a diferença das distâncias aos focos vale 8, não 6.

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