A hipérbole
possui um ponto
cuja diferença de distâncias aos focos é 6. Determine se
pode pertencer à hipérbole (geométrica e analiticamente).
Passo 1
O enunciado dá a hipérbole
e pergunta se existe um ponto
desta hipérbole cuja diferença das distâncias de
aos dois focos valha
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
há um ponto
tal que
(isso é o que nos é dado na hipótese e que precisamos testar).
Passo 2
Identificar os parâmetros canônicos da hipérbole. A equação está na forma canônica vertical
portanto podemos ler diretamente:
Logo
Os focos ficam no eixo
(porque a hipérbole é vertical) nas posições
onde
satisfaz a relação clássica
Calculando:
Passo 3
Explicar geometricamente a propriedade fundamental da hipérbole (aula curta e intuitiva).
Definição geométrica da hipérbole: é o lugar geométrico dos pontos tais que a diferença absoluta das distâncias de
aos dois focos é constante. Essa constante é, por definição do sistema canônico, igual a
. Ou seja, para qualquer ponto
da hipérbole vale
Definição geométrica da hipérbole: é o lugar geométrico dos pontos
Aqui
é o semi-eixo transverso (o número que apareceu na equação canônica). Essa propriedade é exatamente a que gera a equação canônica quando você parte da definição com focos e diferença constante — é a definição equivalente de hipérbole. Um exemplo simples: para a hipérbole
teríamos
e portanto a diferença constante seria
.
Passo 4
Aplicando a propriedade ao caso concreto (argumento geométrico final). Como encontramos em
Logo geometricamente não pode haver ponto
da hipérbole cuja diferença de distâncias seja
, pois para qualquer ponto da hipérbole essa diferença deve ser
. Portanto a hipótese
contradiz a definição da hipérbole dada pela equação.
Argumento analítico curto (confirmando o raciocínio por identificação de parâmetros). A equação dada é canônica com , portanto
. A propriedade analítica/lugar geométrico da hipérbole implica imediatamente que a diferença constante de distâncias é
. Não é necessário calcular distâncias ponto a ponto: a própria forma canônica da equação determina essa constante. Assim novamente obtemos que a diferença é
, não
. Qualquer tentativa de impor
levaria a uma contradição com a equação dada.
Resumo didático e incentivo rápido. Em linguagem simples: a hipérbole que você deu tem “diferença de focos” fixa igual a . Pedir que haja um ponto com diferença igual a
é como pedir que um círculo de raio
seja igual a um de raio
: não bate com a definição. Fica tranquilo — identificar
e lembrar que a diferença é
resolve muita coisa rápido.
Argumento analítico curto (confirmando o raciocínio por identificação de parâmetros). A equação dada é canônica com
Resumo didático e incentivo rápido. Em linguagem simples: a hipérbole que você deu tem “diferença de focos” fixa igual a
Resposta
Não. P não pode pertencer à hipérbole; para qualquer ponto da hipérbole a diferença das distâncias aos focos vale
, não
.