Determine os focos e assíntotas da hipérbole
\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1

Passo 1

O enunciado dá a curva
\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1
e pede duas coisas: (1) os focos da hipérbole e (2) as assíntotas da hipérbole.
Informações relevantes que temos (sem ainda resolver): a equação está escrita como uma diferença de quadrados sobre constantes (forma típica de uma hipérbole) e os denominadores são 9 e 4.

Passo 2

Vamos identificar a forma padrão a que essa equação pertence e o que significam os parâmetros. A forma padrão de uma hipérbole com centro na origem e eixo transverso no eixo x é
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.
Aqui comparamos termo a termo com a nossa equação e identificamos:
a^{2}=9,\qquad b^{2}=4.
Explicando o que são a e b: a é o semieixo transverso (meia-distância do centro ao vértice ao longo do eixo x) e b é o semieixo conjugado (relacionado à “abertura” da hipérbole no sentido vertical). Calculamos:
a=\sqrt{9}=3,\qquad b=\sqrt{4}=2.

Passo 3

Agora vamos à fórmula que dá a posição dos focos. Para uma hipérbole da forma
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
com centro na origem e eixo transverso ao longo do eixo x, os focos estão em (\pm c,0), onde c é dado por
c^{2}=a^{2}+b^{2}.
Breve motivo dessa fórmula (intuição): a hipérbole pode ser definida como o lugar geométrico dos pontos cuja diferença das distâncias a dois focos fixos é constante igual a 2a. Eliminando as raízes (radicais) dessa condição e rearranjando a expressão, chega-se à relação \,c^{2}=a^{2}+b^{2}\,. Não vou fazer toda a eliminação algébrica longa aqui, mas essa é a identidade padrão que usamos sempre.

Passo 4

Usando a relação acima e os valores de a^{2} e b^{2} que já achamos:
c^{2}=a^{2}+b^{2}=9+4=13,
portanto
c=\sqrt{13}.

Passo 5

Como explicado, os focos ficam em (\pm c,0). Substituindo c obtém-se as coordenadas dos focos da nossa hipérbole (vou deixar a listagem final organizada no campo de resposta, conforme você pediu).

Passo 6

Agora as assíntotas. Para a mesma forma padrão a equação das assíntotas é obtida fazendo a versão homogênea da equação, i.e., desprezando o termo constante 1. Isso corresponde a tomar
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=0.
Essa equação representa duas retas passando pelo centro (origem) que a curva se aproxima quando |x| e |y| ficam grandes.

Passo 7

Resolvendo a equação homogênea para y:
\frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{x^{2}}{a^{2}}\quad\Rightarrow\quad y=\pm\frac{b}{a}\,x.
Aqui \frac{b}{a} é a inclinação das assíntotas. Substituindo a=3 e b=2 obtemos a inclinação:
\frac{b}{a}=\frac{2}{3}.

Passo 8

Portanto as equações das assíntotas são y=\pm\frac{2}{3}x. No passo de resposta abaixo eu coloco, de forma sucinta, os focos e as assíntotas finais para você conferir rápido antes da prova — lembre-se: foco é (\pm\sqrt{13},0) e assíntotas são linhas com inclinação \pm 2/3.

Resposta

Focos: \left(\pm\sqrt{13},0\right)
Assíntotas: y=\pm\frac{2}{3}x

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