Determine os focos e assíntotas da hipérbole
Passo 1
O enunciado dá a curva
e pede duas coisas: (1) os focos da hipérbole e (2) as assíntotas da hipérbole.
Informações relevantes que temos (sem ainda resolver): a equação está escrita como uma diferença de quadrados sobre constantes (forma típica de uma hipérbole) e os denominadores são e
.
Informações relevantes que temos (sem ainda resolver): a equação está escrita como uma diferença de quadrados sobre constantes (forma típica de uma hipérbole) e os denominadores são
Passo 2
Vamos identificar a forma padrão a que essa equação pertence e o que significam os parâmetros. A forma padrão de uma hipérbole com centro na origem e eixo transverso no eixo
é
Aqui comparamos termo a termo com a nossa equação e identificamos:
Explicando o que são
e
:
é o semieixo transverso (meia-distância do centro ao vértice ao longo do eixo
) e
é o semieixo conjugado (relacionado à “abertura” da hipérbole no sentido vertical). Calculamos:
Passo 3
Agora vamos à fórmula que dá a posição dos focos. Para uma hipérbole da forma
com centro na origem e eixo transverso ao longo do eixo
, os focos estão em
, onde
é dado por
Breve motivo dessa fórmula (intuição): a hipérbole pode ser definida como o lugar geométrico dos pontos cuja diferença das distâncias a dois focos fixos é constante igual a
. Eliminando as raízes (radicais) dessa condição e rearranjando a expressão, chega-se à relação
. Não vou fazer toda a eliminação algébrica longa aqui, mas essa é a identidade padrão que usamos sempre.
Passo 4
Usando a relação acima e os valores de
e
que já achamos:
portanto
Passo 5
Como explicado, os focos ficam em
. Substituindo
obtém-se as coordenadas dos focos da nossa hipérbole (vou deixar a listagem final organizada no campo de resposta, conforme você pediu).
Passo 6
Agora as assíntotas. Para a mesma forma padrão a equação das assíntotas é obtida fazendo a versão homogênea da equação, i.e., desprezando o termo constante
. Isso corresponde a tomar
Essa equação representa duas retas passando pelo centro (origem) que a curva se aproxima quando
e
ficam grandes.
Passo 7
Resolvendo a equação homogênea para
:
Aqui
é a inclinação das assíntotas. Substituindo
e
obtemos a inclinação:
Passo 8
Portanto as equações das assíntotas são
. No passo de resposta abaixo eu coloco, de forma sucinta, os focos e as assíntotas finais para você conferir rápido antes da prova — lembre-se: foco é
e assíntotas são linhas com inclinação
.
Resposta
Focos:
Assíntotas:
Assíntotas: