Seja a parábola
Determine foco, diretriz e eixo de simetria.
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos: a parábola é dada por
O que o problema pede: determinar o foco, a diretriz e o eixo de simetria dessa parábola. Vou listar explicitamente: foco (coordenadas), equação da diretriz e equação do eixo de simetria.
Passo 2
Colocar a equação numa forma padrão fácil de interpretar. Parto de
Multiplico ambos os lados por
para isolar
:
ou, reorganizando,
Passo 3
Lembrando a forma padrão útil: a forma canônica de uma parábola com vértice na origem e eixo vertical é
onde
é a distância assinada do vértice ao foco. Explico o que isso significa: se
a parábola abre para cima e o foco fica em
; se
ela abre para baixo e o foco fica em
. A diretriz, nessa forma, é a reta
ou seja, é a reta horizontal simétrica ao foco em relação ao vértice.
Passo 4
Comparo a forma que obtive com a forma padrão. Tenho
Logo
. Assim
Interpretação: o vértice está em
(pois a forma está centrada na origem), o foco fica a uma distância
abaixo do vértice (porque
), e a diretriz fica uma unidade acima do vértice.
Passo 5
A partir de
obtenho as fórmulas diretas:
- foco:
; - diretriz:
; - eixo de simetria: a reta vertical que passa pelo vértice, ou seja
.
Vou fazer uma verificação rápida da propriedade definidora da parábola (opcional, mas útil para confirmar): tome um ponto genérico
da parábola. Distância até o foco
é
Distância até a diretriz
é
. Igualando (e elevando ao quadrado) temos
Expandindo:
Cancelando
e
em ambos os lados fica
ou seja
que é exatamente a equação inicial. Portanto a escolha do foco e da diretriz está correta.
Passo 6
Resumo final da dedução (breve): converti a parábola para a forma
, identifiquei
, daí foco em
, diretriz
e eixo de simetria
.
Resposta
Foco:
Diretriz:
Eixo de simetria:
Diretriz:
Eixo de simetria: