Seja a parábola
y=-\frac{1}{4} x^{2}
Determine foco, diretriz e eixo de simetria.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos: a parábola é dada por y=-\frac{1}{4}x^{2}.
O que o problema pede: determinar o foco, a diretriz e o eixo de simetria dessa parábola. Vou listar explicitamente: foco (coordenadas), equação da diretriz e equação do eixo de simetria.

Passo 2

Colocar a equação numa forma padrão fácil de interpretar. Parto de
y=-\frac{1}{4}x^{2}.
Multiplico ambos os lados por -4 para isolar x^{2}:
-4y = x^{2},
ou, reorganizando,
x^{2} = -4y.

Passo 3

Lembrando a forma padrão útil: a forma canônica de uma parábola com vértice na origem e eixo vertical é
x^{2} = 4p\,y,
onde p é a distância assinada do vértice ao foco. Explico o que isso significa: se p>0 a parábola abre para cima e o foco fica em (0,p); se p<0 ela abre para baixo e o foco fica em (0,p). A diretriz, nessa forma, é a reta
y = -p,
ou seja, é a reta horizontal simétrica ao foco em relação ao vértice.

Passo 4

Comparo a forma que obtive com a forma padrão. Tenho x^{2} = -4y.
Logo 4p = -4. Assim
p = -1.
Interpretação: o vértice está em (0,0) (pois a forma está centrada na origem), o foco fica a uma distância |p|=1 abaixo do vértice (porque p<0), e a diretriz fica uma unidade acima do vértice.

Passo 5

A partir de p=-1 obtenho as fórmulas diretas:
  • foco: (0,p) = (0,-1);
  • diretriz: y = -p = 1;
  • eixo de simetria: a reta vertical que passa pelo vértice, ou seja x=0.
Vou fazer uma verificação rápida da propriedade definidora da parábola (opcional, mas útil para confirmar): tome um ponto genérico (x,y) da parábola. Distância até o foco (0,-1) é
\sqrt{(x-0)^{2} + (y+1)^{2}} = \sqrt{x^{2} + (y+1)^{2}}.
Distância até a diretriz y=1 é |y-1|. Igualando (e elevando ao quadrado) temos
x^{2} + (y+1)^{2} = (y-1)^{2}.
Expandindo:
x^{2} + y^{2} + 2y +1 = y^{2} -2y +1.
Cancelando y^{2} e 1 em ambos os lados fica
x^{2} + 2y = -2y,
ou seja
x^{2} = -4y,
que é exatamente a equação inicial. Portanto a escolha do foco e da diretriz está correta.

Passo 6

Resumo final da dedução (breve): converti a parábola para a forma x^{2}=4py, identifiquei p=-1, daí foco em (0,-1), diretriz y=1 e eixo de simetria x=0.

Resposta

Foco: (0,-1)
Diretriz: y=1
Eixo de simetria: x=0

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