\hline 26) & Calcule \iiint x^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, onde \mathscr{R} é a região compreendida entre as esferas x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 e x^{2}+y^{2}+z^{2}=9. \

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{\mathscr{R}} x^{2}\,dx\,dy\,dz,
onde \mathscr{R} é a região compreendida entre as esferas \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\, e \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=9\,.
Informações dadas e o que precisamos:
  • A região \mathscr{R} é a casca esférica com raio interno 2 e raio externo 3.
  • A integral é sobre todo o volume dessa casca (não há outras restrições angulares).
  • Precisamos obter um número (o valor da integral).

Passo 2

Por que mudar de coordenadas? A região é esférica (capas de esferas concêntricas), então uma mudança para coordenadas esféricas deixa os limites simples e aproveita a simetria. Nas coordenadas esféricas usamos as variáveis
r,\\ \varphi,\\ \theta,
com as relações (definições)
x = r\sin\varphi\cos\theta,\qquad y = r\sin\varphi\sin\theta,\qquad z = r\cos\varphi.
Aqui \,r\ge 0\, é a distância ao origem, \varphi\in[0,\pi] é o ângulo polar (colatitude) medido a partir do eixo z, e \theta\in[0,2\pi] é o ângulo azimutal no plano xy.
Elemento de volume (Jacobiano): em coordenadas esféricas o elemento de volume é
dV = r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
Intuição rápida: r^{2}\sin\varphi vem da escala do elemento angular e do fator radial (é o determinante da transformação).
Limites para a nossa região \mathscr{R}:
2\le r\le 3,\qquad 0\le \varphi\le\pi,\qquad 0\le \theta\le 2\pi.

Passo 3

Escrever a integranda em esféricas. Temos
x^{2} = \big(r\sin\varphi\cos\theta\big)^{2} = r^{2}\sin^{2}\varphi\cos^{2}\theta.
Multiplicando pelo elemento de volume:
x^{2}\,dV = r^{2}\sin^{2}\varphi\cos^{2}\theta \cdot r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta = r^{4}\sin^{3}\varphi\cos^{2}\theta\,dr\,d\varphi\,d\theta.
Logo a integral fica
\iiint_{\mathscr{R}} x^{2}\,dV = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{2}^{3} r^{4}\sin^{3}\varphi\cos^{2}\theta\,dr\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Separar em integrais unidimensionais. A função integranda é produto de uma função só de r, outra só de \varphi e outra só de \theta, então podemos separar:
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{2}^{3} r^{4}\sin^{3}\varphi\cos^{2}\theta\,dr\,d\varphi\,d\theta = \left(\int_{2}^{3} r^{4}\,dr\right) \left(\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\varphi\,d\varphi\right) \left(\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta\right).
Agora calculamos cada integral uma a uma.
Calcular \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta. Use a identidade trigonométrica
\cos^{2}\theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Assim
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}1\,d\theta + \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\cos(2\theta)\,d\theta.
A segunda integral é zero porque \cos(2\theta) tem período \pi e integra em um número inteiro de períodos; a primeira é \frac{1}{2}\cdot 2\pi=\pi. Portanto
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta = \pi.

Passo 5

Calcular \displaystyle \int_{0}^{\pi}\sin^{3}\varphi\,d\varphi. Escreva \sin^{3}\varphi=\sin\varphi\,(1-\cos^{2}\varphi) e use a substituição u=\cos\varphi, du=-\sin\varphi\,d\varphi. Então
\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\varphi\,d\varphi = \int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi - \int_{0}^{\pi}\sin\varphi\cos^{2}\varphi\,d\varphi.
Primeiro termo:
\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi = \big[-\cos\varphi\big]_{0}^{\pi} = -\cos\pi + \cos 0 = -(-1)+1 = 2.
Segundo termo via u=\cos\varphi: quando \varphi=0 temos u=1; quando \varphi=\pi temos u=-1. Assim
\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\cos^{2}\varphi\,d\varphi = -\int_{1}^{-1} u^{2}\,du = \int_{-1}^{1} u^{2}\,du.
E
\int_{-1}^{1} u^{2}\,du = 2\int_{0}^{1} u^{2}\,du = 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3}.
Portanto
\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\varphi\,d\varphi = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}.

Passo 6

Calcular \displaystyle \int_{2}^{3} r^{4}\,dr. A primitiva de r^{4} é \dfrac{r^{5}}{5}. Logo
\int_{2}^{3} r^{4}\,dr = \left[\frac{r^{5}}{5}\right]_{2}^{3} = \frac{3^{5}-2^{5}}{5} = \frac{243-32}{5} = \frac{211}{5}.

Passo 7

Multiplicar os três resultados obtidos:
\left(\int_{2}^{3} r^{4}\,dr\right) \left(\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\varphi\,d\varphi\right) \left(\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta\right) = \left(\frac{211}{5}\right)\left(\frac{4}{3}\right)\left(\pi\right).
Fazendo as contas:
\frac{211}{5}\cdot\frac{4}{3}\cdot\pi = \frac{844}{15}\,\pi.

Passo 8

(Mini-dica extra — interpretação pela simetria) Uma verificação rápida: por simetria, sobre a casca esférica completa vale
\iiint_{\mathscr{R}} x^{2}\,dV = \frac{1}{3}\iiint_{\mathscr{R}} (x^{2}+y^{2}+z^{2})\,dV = \frac{1}{3}\iiint_{\mathscr{R}} r^{2}\,dV.
Calculando \iiint_{\mathscr{R}} r^{2}\,dV=\int_{2}^{3}r^{4}dr\cdot\int_{0}^{\pi}\sin\varphi d\varphi\cdot\int_{0}^{2\pi}d\theta=(211/5)\cdot 2\cdot 2\pi=(844/5)\pi e dividindo por 3 obtém-se novamente (844/15)\pi, confirmação do resultado.

Resposta

\dfrac{844\pi}{15}

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