\hline 26) & Calcule
, onde
é a região compreendida entre as esferas
e
. \
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde
é a região compreendida entre as esferas
e
.
Informações dadas e o que precisamos:
- A região
é a casca esférica com raio interno e raio externo . - A integral é sobre todo o volume dessa casca (não há outras restrições angulares).
- Precisamos obter um número (o valor da integral).
Passo 2
Por que mudar de coordenadas? A região é esférica (capas de esferas concêntricas), então uma mudança para coordenadas esféricas deixa os limites simples e aproveita a simetria. Nas coordenadas esféricas usamos as variáveis
com as relações (definições)
Aqui
é a distância ao origem,
é o ângulo polar (colatitude) medido a partir do eixo
, e
é o ângulo azimutal no plano
.
Elemento de volume (Jacobiano): em coordenadas esféricas o elemento de volume é
Intuição rápida:
vem da escala do elemento angular e do fator radial (é o determinante da transformação).
Limites para a nossa região
:
Passo 3
Escrever a integranda em esféricas. Temos
Multiplicando pelo elemento de volume:
Logo a integral fica
Passo 4
Separar em integrais unidimensionais. A função integranda é produto de uma função só de
, outra só de
e outra só de
, então podemos separar:
Agora calculamos cada integral uma a uma.
Calcular
. Use a identidade trigonométrica
Assim
A segunda integral é zero porque
tem período
e integra em um número inteiro de períodos; a primeira é
. Portanto
Passo 5
Calcular
. Escreva
e use a substituição
,
. Então
Primeiro termo:
Segundo termo via
: quando
temos
; quando
temos
. Assim
E
Portanto
Passo 6
Calcular
. A primitiva de
é
. Logo
Passo 7
Multiplicar os três resultados obtidos:
Fazendo as contas:
Passo 8
(Mini-dica extra — interpretação pela simetria) Uma verificação rápida: por simetria, sobre a casca esférica completa vale
Calculando
e dividindo por
obtém-se novamente
, confirmação do resultado.