\hline 25) & Calcule \iiint \sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, onde \mathscr{R} é a região formada pelo elipsóide \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 e seu interior. \

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações são dadas.
  • O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{\mathscr{R}} \sqrt{\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}}\,dx\,dy\,dz,
onde \mathscr{R} é a região interior ao elipsóide
\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}=1.
  • Informação adicional implícita: os parâmetros a, b, c são constantes positivas (senão a equação do elipsóide não faz sentido geométrico).
  • O que se pede, portanto, é o valor numérico (em função de a,b,c) da integral tripla do integrando \sqrt{\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}} sobre todo o interior do elipsóide.

Passo 2

Motivação para a transformação: o integrando contém a combinação \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}. Uma transformação linear simples que “normaliza” o elipsóide em uma esfera unitária facilita muito. Definimos as novas variáveis
u=\dfrac{x}{a},\qquad v=\dfrac{y}{b},\qquad w=\dfrac{z}{c}.
Essa mudança transforma o elipsóide em
u^{2}+v^{2}+w^{2}\le 1,
ou seja, a bola unitária em (u,v,w). A vantagem é que o integrando fica em termos de u,v,w apenas como \sqrt{u^{2}+v^{2}+w^{2}}, que é radial.

Passo 3

Fórmula da mudança de variáveis (explicação didática): se fazemos a transformação
x=a u,\quad y=b v,\quad z=c w,
então o elemento de volume se transforma segundo o Jacobiano da transformação. Aqui a matriz de transformação de (u,v,w) para (x,y,z) é diagonal
J=\begin{pmatrix}a & 0 & 0\\[4pt]0 & b & 0\\[4pt]0 & 0 & c\end{pmatrix}.
O determinante dessa matriz (o Jacobiano absoluto) é
\big|\det J\big|=a b c.
Isso significa que
dx\,dy\,dz = a b c \; du\,dv\,dw.
Explicando em palavras: cada pequeno cubinho em (u,v,w) é ampliado por um fator abc na transformação para (x,y,z).]

Passo 4

Reescrever integral na bola unitária: usando a mudança de variáveis, o integrando fica
\sqrt{\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}} = \sqrt{u^{2}+v^{2}+w^{2}}.
Portanto a integral original se transforma em
\iiint_{\mathscr{R}} \sqrt{\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}}\,dx\,dy\,dz = a b c \iiint_{B(0,1)} \sqrt{u^{2}+v^{2}+w^{2}}\;du\,dv\,dw,
onde B(0,1)=\{(u,v,w):u^{2}+v^{2}+w^{2}\le 1\} é a bola unitária. A constante abc sai multiplicando a integral sobre a bola.

Passo 5

Passar para coordenadas esféricas (explicação didática): para integrar sobre a bola unitária é natural usar coordenadas esféricas centradas na origem. Definimos
u = r\sin\varphi\cos\theta,\qquad v = r\sin\varphi\sin\theta,\qquad w = r\cos\varphi,
com as variáveis no intervalo
0\le r\le 1,\quad 0\le\theta\le 2\pi,\quad 0\le\varphi\le\pi.
Nessas coordenadas, r=\sqrt{u^{2}+v^{2}+w^{2}} e o elemento de volume vale
du\,dv\,dw = r^{2}\sin\varphi\;dr\,d\varphi\,d\theta.
Observação: esta fórmula para o elemento de volume pode ser entendida como o produto da área angular r^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta pelo incremento radial dr.

Passo 6

Substituir na integral e simplificar o integrando: como \sqrt{u^{2}+v^{2}+w^{2}}=r, o integrando multiplicado pelo elemento de volume fica
\sqrt{u^{2}+v^{2}+w^{2}}\;du\,dv\,dw = r\cdot \big(r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta\big) = r^{3}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
Assim a integral sobre a bola unitária é
\iiint_{B(0,1)} \sqrt{u^{2}+v^{2}+w^{2}}\;du\,dv\,dw = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{1} r^{3}\sin\varphi\; dr\,d\varphi\,d\theta.

Passo 7

Calcular a integral por separação de variáveis: a expressão é produto de uma parte radial e uma parte angular, logo
\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{1} r^{3}\sin\varphi\; dr\,d\varphi\,d\theta = \left(\int_{0}^{2\pi} d\theta\right)\!\left(\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi\right)\!\left(\int_{0}^{1} r^{3}\,dr\right).
Avaliaremos cada fator:
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi,
\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi = \big[-\cos\varphi\big]_{0}^{\pi} = -\cos\pi + \cos 0 = -(-1)+1 = 2,
\int_{0}^{1} r^{3}\,dr = \left[\dfrac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{4}.
Multiplicando os três resultados:
2\pi \times 2 \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{4\pi}{4} = \pi.

Passo 8

Voltar ao resultado da integral original: lembrando do fator a b c que saiu da mudança de variáveis (Passo 3–4), o valor da integral original é
a b c \times \pi = \pi a b c.
Intuitivamente: a parte escalar da integral sobre a bola deu \pi, e a transformação linear esticou o volume por abc, resultando em \pi a b c.

Resposta

\pi a b c

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