\hline 25) & Calcule \iiint \sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z, onde \mathscr{R} é a região formada pelo elipsóide \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 e seu interior. \
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações são dadas.
Informação adicional implícita: os parâmetros a, b, c são constantes positivas (senão a equação do elipsóide não faz sentido geométrico).
O que se pede, portanto, é o valor numérico (em função de a,b,c) da integral tripla do integrando \sqrt{\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}} sobre todo o interior do elipsóide.
Passo 2
Motivação para a transformação: o integrando contém a combinação \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}. Uma transformação linear simples que “normaliza” o elipsóide em uma esfera unitária facilita muito. Definimos as novas variáveis
\iiint_{\mathscr{R}} \sqrt{\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}}\,dx\,dy\,dz = a b c \iiint_{B(0,1)} \sqrt{u^{2}+v^{2}+w^{2}}\;du\,dv\,dw,
onde B(0,1)=\{(u,v,w):u^{2}+v^{2}+w^{2}\le 1\} é a bola unitária. A constante abc sai multiplicando a integral sobre a bola.
Passo 5
Passar para coordenadas esféricas (explicação didática): para integrar sobre a bola unitária é natural usar coordenadas esféricas centradas na origem. Definimos
u = r\sin\varphi\cos\theta,\qquad v = r\sin\varphi\sin\theta,\qquad w = r\cos\varphi,
Observação: esta fórmula para o elemento de volume pode ser entendida como o produto da área angular r^{2}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta pelo incremento radial dr.
Passo 6
Substituir na integral e simplificar o integrando: como \sqrt{u^{2}+v^{2}+w^{2}}=r, o integrando multiplicado pelo elemento de volume fica