\hline 32) & Calcule \int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} x. \

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • A função a ser integrada é \,x^{2}+y^{2}.
  • Os limites são x variando de 0 a 1 e, para cada x, y varia de 0 a \sqrt{1-x^{2}}.
  • A região de integração é o conjunto dos pontos (x,y) com 0\le x\le1 e 0\le y\le\sqrt{1-x^{2}}. Geometricamente, isso é o arco superior do círculo de raio 1 centrado em (0,0), restrito ao primeiro quadrante — ou seja, o quarto de disco de raio 1 com x\ge0 e y\ge0.
O que se pede: calcular o valor numérico dessa integral dupla.

Passo 2

Escolha do método: observando os limites e a região, nota-se que a fronteira superior é \,y=\sqrt{1-x^{2}}, que é parte do círculo de raio 1. Sempre que a região é circular ou parte de um círculo e a integranda envolve x^{2}+y^{2}, a troca para coordenadas polares tende a simplificar muito: a expressão x^{2}+y^{2} fica r^{2} em polares, e a região fica com limites simples em r e \theta. Vou, portanto, usar coordenadas polares. Opção alternativa (integração direta em cartesiano) também é possível; depois mostro rapidamente como seria só para prática.
Vou explicar com calma como fazer a troca para coordenadas polares e por que o elemento de área muda.

Passo 3

Coordenadas polares — fórmula e elemento de área (mini-aula):
  • Em coordenadas polares, cada ponto (x,y) é escrito como
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge0 é a distância do ponto à origem e \theta é o ângulo em relação ao eixo x.
  • A quantidade x^{2}+y^{2} transforma-se simplesmente em
x^{2}+y^{2} = r^{2}.
  • O elemento de área infinitesimal dA = dx\,dy transforma-se em
dA = r\,dr\,d\theta.
Justificação intuitiva do r: em polares um pequeno retângulo em (r,\theta) tem lados aproximadamente dr e r\,d\theta, logo a área é dr\cdot r\,d\theta.
Agora definimos os limites em polares para a região dada:
  • Como estamos no primeiro quadrante com x\ge0 e y\ge0, o ângulo varia de \theta=0 até \theta=\tfrac{\pi}{2}.
  • Como a região é o disco de raio 1 centrado na origem (até a circunferência r=1), o raio varia de r=0 até r=1.
Portanto, a integral em polares ficará com \theta\in[0,\tfrac{\pi}{2}] e r\in[0,1].

Passo 4

Montagem e cálculo da integral em coordenadas polares:
Substituindo \,x^{2}+y^{2}=r^{2} e dx\,dy=r\,dr\,d\theta, a integral original passa a ser
\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dy\,dx = \int_{\theta=0}^{\tfrac{\pi}{2}}\int_{r=0}^{1} r^{2}\cdot r\,dr\,d\theta.
Simplificando o integrando:
r^{2}\cdot r = r^{3},
logo
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}}\int_{0}^{1} r^{3}\,dr\,d\theta.
Agora calculamos a integral iterada passo a passo.
Integral interna (em r):
\int_{0}^{1} r^{3}\,dr = \left[\dfrac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \dfrac{1^{4}}{4}-\dfrac{0^{4}}{4} = \dfrac{1}{4}.
Agora a integral externa (em \theta):
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \dfrac{1}{4}\,d\theta = \dfrac{1}{4}\left[\theta\right]_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} = \dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{8}.
Portanto, o valor da integral é \dfrac{\pi}{8}.

Passo 5

(Segunda via: cálculo em coordenadas cartesianas — explicação curta para comparar)
Se preferir fazer sem trocar para polares, integra-se primeiro em y:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}}\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dy\,dx = \int_{0}^{1}\!\left[ x^{2}y+\dfrac{y^{3}}{3}\right]_{y=0}^{y=\sqrt{1-x^{2}}}\,dx.
Substituindo y=\sqrt{1-x^{2}}:
x^{2}\sqrt{1-x^{2}}+\dfrac{(\sqrt{1-x^{2}})^{3}}{3} = x^{2}\sqrt{1-x^{2}}+\dfrac{(1-x^{2})^{3/2}}{3}.
Assim a integral em x é
\int_{0}^{1}\left(x^{2}\sqrt{1-x^{2}}+\dfrac{(1-x^{2})^{3/2}}{3}\right)\,dx.
Com uma substituição trigonométrica padrão (por exemplo x=\sin t com t\in[0,\tfrac{\pi}{2}]) ou reconhecendo a soma como derivada de uma função simples, chega-se ao mesmo resultado \dfrac{\pi}{8}. A via cartesiana dá mais contas algébricas; por isso a escolha por polares é mais direta aqui.

Resposta

\dfrac{\pi}{8}

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