\hline 32) & Calcule
. \
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
Informações dadas:
- A função a ser integrada é
. - Os limites são
variando de a e, para cada , varia de a . - A região de integração é o conjunto dos pontos
com e . Geometricamente, isso é o arco superior do círculo de raio centrado em , restrito ao primeiro quadrante — ou seja, o quarto de disco de raio com e .
O que se pede: calcular o valor numérico dessa integral dupla.
Passo 2
Escolha do método: observando os limites e a região, nota-se que a fronteira superior é
, que é parte do círculo de raio
. Sempre que a região é circular ou parte de um círculo e a integranda envolve
, a troca para coordenadas polares tende a simplificar muito: a expressão
fica
em polares, e a região fica com limites simples em
e
. Vou, portanto, usar coordenadas polares. Opção alternativa (integração direta em cartesiano) também é possível; depois mostro rapidamente como seria só para prática.
Vou explicar com calma como fazer a troca para coordenadas polares e por que o elemento de área muda.
Passo 3
Coordenadas polares — fórmula e elemento de área (mini-aula):
- Em coordenadas polares, cada ponto
é escrito como
onde
é a distância do ponto à origem e
é o ângulo em relação ao eixo
.
- A quantidade
transforma-se simplesmente em
- O elemento de área infinitesimal
transforma-se em
Justificação intuitiva do
: em polares um pequeno retângulo em
tem lados aproximadamente
e
, logo a área é
.
Agora definimos os limites em polares para a região dada:
- Como estamos no primeiro quadrante com
e , o ângulo varia de até . - Como a região é o disco de raio
centrado na origem (até a circunferência ), o raio varia de até .
Portanto, a integral em polares ficará com
e
.
Passo 4
Montagem e cálculo da integral em coordenadas polares:
Substituindo e
, a integral original passa a ser
Substituindo
Simplificando o integrando:
logo
Agora calculamos a integral iterada passo a passo.
Integral interna (em
):
Agora a integral externa (em
):
Portanto, o valor da integral é
.
Passo 5
(Segunda via: cálculo em coordenadas cartesianas — explicação curta para comparar)
Se preferir fazer sem trocar para polares, integra-se primeiro em :
Se preferir fazer sem trocar para polares, integra-se primeiro em
Substituindo
:
Assim a integral em
é
Com uma substituição trigonométrica padrão (por exemplo
com
) ou reconhecendo a soma como derivada de uma função simples, chega-se ao mesmo resultado
. A via cartesiana dá mais contas algébricas; por isso a escolha por polares é mais direta aqui.