Questão 3) Valor: 10 Pontos
Suponha que o contratante solicite um orçamento complementar trocando a viga de aço por uma de concreto protendido. Assim, considerando os esforços obtidos na Questâue 1 , e levando em consideração que o momento devido ao peso próprio da viga no meio do vão é igual à
, e que 1 cordoalha exerce uma força aproximada de 120 kN , para a geometria de viga abaixo, determine para o meio do vão:
a) As tensões de tração e compressão na viga devido ao peso próprio ( 2,0 pontos).
10) As tensões de tração e compressão na viga devido à carga
pontos
.
c) O número de cordoalhas de forma a zerar a tensão de tração (PP + Carga P). Obs.: Ncord = Próximo número inteiro. ( 2,0 pontos)
d) As tensões de tração e compressão na combinação (PP + Protensão). (2,0 pontos)
e) Se o concreto suporta
de Tração e 30 MPa de compressão, as tensões de tração e compressão na combinação PP + Protensão são atendidas? ( 2,0 pontos)
Suponha que o contratante solicite um orçamento complementar trocando a viga de aço por uma de concreto protendido. Assim, considerando os esforços obtidos na Questâue 1 , e levando em consideração que o momento devido ao peso próprio da viga no meio do vão é igual à
a) As tensões de tração e compressão na viga devido ao peso próprio ( 2,0 pontos).
10) As tensões de tração e compressão na viga devido à carga
c) O número de cordoalhas de forma a zerar a tensão de tração (PP + Carga P). Obs.: Ncord = Próximo número inteiro. ( 2,0 pontos)
d) As tensões de tração e compressão na combinação (PP + Protensão). (2,0 pontos)
e) Se o concreto suporta
Passo 1
O enunciado pede, para o meio do vão da viga de concreto protendido, os seguintes itens:
- (a) as tensões de tração e compressão causadas apenas pelo peso próprio (PP);
- (b) as tensões de tração e compressão causadas apenas pela carga
; - (c) o número de cordoalhas necessário para zerar a tensão de tração considerando a combinação (PP + carga
), sabendo que cada cordoalha aplica aproximadamente ; - (d) as tensões de tração e compressão na combinação (PP + protensão);
- (e) verificar se, na combinação (PP + protensão), as tensões estão dentro dos limites do concreto: tração admissível
e compressão admissível .
Informações que o enunciado fornece explicitamente:
- momento devido ao peso próprio no meio do vão:
; - força aproximada por cordoalha:
Informações que deveriam estar na “geometria de viga abaixo” ou na Questão 1 e NÃO foram fornecidas aqui (essas são necessárias para obter respostas numéricas):
- área da seção transversal do concreto
; - momento de inércia da seção em relação ao centroide
; - distância do centroide até a fibra inferior e superior (ou, equivalentemente, as alturas
e ou e ); - posição (excentricidade) da linha de protensão em relação ao centroide, isto é
(se a protensão não passa pelo centroide ela gera momento ); - momento causado pela carga
no meio do vão (ou o valor de e a geometria para obter esse momento) — necessário para (b) e para a combinação; - qualquer informação sobre perdas de protensão, distribuição de cordoalhas (se concentram em uma linha), etc., caso se queira maior refinamento.
Como a figura/geomtria e os esforços da Questão 1 não foram enviados, não há como calcular numericamente as tensões pedidas. Abaixo eu explico, passo a passo e de forma didática, como calcular cada item assim que você me fornecer os dados que faltam.
Passo 2
Conceito básico: tensão normal por flexão simples.
- Quando uma viga está submetida a um momento fletor
, a tensão normal devido à flexão em uma fibra situada a uma distância do centroide (positivo para fibra abaixo do centroide, por exemplo) é dada por
Expliquei as variáveis:
-
é o momento fletor (unidade: ou ); -
é a distância da fibra ao centroide (unidade: ou ); -
é o momento de inércia da seção transversal em relação ao centroide (unidade: ou ); -
tem unidade de tensão ( ou ).
Observações importantes: - Se
consideramos tensão de tração; se é compressão (pode adotar a convenção oposta, mas ser consistente). - Para calcular a tensão na fibra superior ou inferior, use
ou (distâncias absolutas ao centroide). - É usual usar o módulo de seção
(onde é a distância à fibra extrema) e escrever .
Passo 3
(a) Como calcular as tensões devido apenas ao peso próprio (PP).
- Momento conhecido:
(dado). - Transforme unidades se necessário para ficar consistente com
e (por exemplo, converter para multiplicando por , se estiver em e em ). - Tensão na fibra inferior (assumindo que a fibra inferior fica em tração para o momento fletor dado): usar
- Tensão na fibra superior:
- Sinal: se o momento for sagging (concavidade para cima), a fibra inferior será tracionada (
) e a superior comprimida ( ); ajuste o sinal conforme a convenção adotada. - Para obter valores numéricos, preciso que você me passe
(ou dimensões da seção para eu calcular e ).
Passo 4
(b) Tensões devido à carga
.
- Se o enunciado da Questão 1 forneceu o momento no meio do vão gerado por
, denote-o por . Se tiver apenas o valor da carga , preciso também da arranjo de carregamento (por exemplo carga concentrada no meio, carga distribuída, vão simples, etc.) para calcular . - Uma vez conhecido
, as tensões na fibra inferior e superior são, analogamente,
- Novamente, atenção ao sinal do momento (traição na fibra inferior ou superior).
Passo 5
(c) Como determinar o número de cordoalhas para zerar a tensão de tração (PP + carga
).
Explicação física e fórmulas (modelo simples: todas cordoalhas resultam numa única força resultante aplicada com excentricidade
em relação ao centroide; desprezamos perdas e consideramos ação estática direta):
Explicação física e fórmulas (modelo simples: todas cordoalhas resultam numa única força resultante
- A protensão total
produz: - uma compressão axial média na seção:
(negativa = compressão); - um momento fletor devido à excentricidade:
, que gera na fibra a tensão por flexão (sinal negativo porque o momento do pré-esforço é de compressão na fibra que antes estava em tração).
- uma compressão axial média na seção:
- A condição para zerar a tensão de tração na fibra tracionada (por exemplo, a fibra inferior) sob a combinação (PP +
+ protensão) é:
- Agrupando as expressões (tomando
):
- Isolando
:
- O número de cordoalhas necessário é
onde
é o teto (próximo inteiro superior) e
.
- Observação didática: a fórmula acima mistura efeito axial e efeito de momento do pré-esforço. Se a protensão passar exatamente pelo centroide (
), a protensão só produz eixo normal e então
- Para obter
numericamente preciso de e de .
Passo 6
(d) Tensões na combinação (PP + protensão).
- Uma vez escolhido
(portanto ), as tensões nas fibras extrema são:
Explicação do segundo: para a fibra superior a distância
relativa ao centroide pode ser tomada negativa se usar sinal; acima eu escrevi explicitamente o sinal para deixar a fórmula consistente (usar a convenção que preferir desde que os sinais sejam coerentes).
- Se preferir expressar sem sinais estranhos, pode calcular separadamente as tensões de flexão positiva e depois somar o efeito axial e de momento da protensão conforme o caso.
Passo 7
(e) Verificação dos limites do concreto.
- Critério: verificar se
e
onde
é a tensão de tração (valor positivo) na fibra que fica tracionada na combinação, e
é a tensão de compressão (valor negativo, comparar o módulo) na fibra comprimida.
- Use as fórmulas do Passo 6 para obter os valores numéricos e compare com os limites. Se uma das desigualdades não for satisfeita, a combinação não é atendida.
Passo 8
Resumo final e pedido de dados faltantes (o porquê da impossibilidade de cálculo numérico).
- Com os dados enviados até agora só é possível descrever o método e as fórmulas (o que fiz acima). Para obter os valores numéricos pedidos nos itens (a) a (e) você precisa me fornecer, no mínimo, os seguintes dados (retorne exatamente estes valores ou envie a figura da seção com dimensões):
- área da seção transversal
(ou as dimensões da seção para eu calcular ); - momento de inércia da seção
(ou as dimensões da seção para eu calcular ); - distância do centroide até a fibra inferior
e até a fibra superior (ou as dimensões que permitem calcular essas distâncias); - excentricidade da protensão
em relação ao centroide (perfil da cordoalha: posição vertical); - momento causado pela carga
no meio do vão (ou o valor de e a distribuição/geometria para eu calcular ); - confirmação se devemos desprezar perdas de protensão e se todas as cordoalhas podem ser consideradas concentradas numa resultante
com excentricidade (modelo simplificado).
- área da seção transversal
- Assim que você me mandar esses dados (ou a figura da seção e o valor de
), eu calculo passo a passo os números, mostro as contas detalhadas, obtenho (arredondando para o próximo inteiro) e verifico as tensões em relação aos limites fornecidos. Vou apresentar tudo no formato de passos que você pediu, sem pular etapas — combinado?
Resposta
Não é possível fornecer os valores numéricos solicitados porque faltam dados essenciais:
e o momento
gerado pela carga
.