Questão 3) Valor: 10 Pontos
Suponha que o contratante solicite um orçamento complementar trocando a viga de aço por uma de concreto protendido. Assim, considerando os esforços obtidos na Questâue 1 , e levando em consideração que o momento devido ao peso próprio da viga no meio do vão é igual à 16,875 \mathrm{kNm}, e que 1 cordoalha exerce uma força aproximada de 120 kN , para a geometria de viga abaixo, determine para o meio do vão:
a) As tensões de tração e compressão na viga devido ao peso próprio ( 2,0 pontos).
10) As tensões de tração e compressão na viga devido à carga \mathrm{P}(2,0 pontos ).
c) O número de cordoalhas de forma a zerar a tensão de tração (PP + Carga P). Obs.: Ncord = Próximo número inteiro. ( 2,0 pontos)
d) As tensões de tração e compressão na combinação (PP + Protensão). (2,0 pontos)
e) Se o concreto suporta 3,50 \mathrm{MPa} de Tração e 30 MPa de compressão, as tensões de tração e compressão na combinação PP + Protensão são atendidas? ( 2,0 pontos)

Passo 1

O enunciado pede, para o meio do vão da viga de concreto protendido, os seguintes itens:
  • (a) as tensões de tração e compressão causadas apenas pelo peso próprio (PP);
  • (b) as tensões de tração e compressão causadas apenas pela carga P;
  • (c) o número de cordoalhas necessário para zerar a tensão de tração considerando a combinação (PP + carga P), sabendo que cada cordoalha aplica aproximadamente 120\\ \mathrm{kN};
  • (d) as tensões de tração e compressão na combinação (PP + protensão);
  • (e) verificar se, na combinação (PP + protensão), as tensões estão dentro dos limites do concreto: tração admissível 3{,}50\\ \mathrm{MPa} e compressão admissível 30\\ \mathrm{MPa}.
Informações que o enunciado fornece explicitamente:
  • momento devido ao peso próprio no meio do vão: \;M_{PP}=16{,}875\\ \mathrm{kNm};
  • força aproximada por cordoalha: \;F_{\text{cord}}=120\\ \mathrm{kN}.
Informações que deveriam estar na “geometria de viga abaixo” ou na Questão 1 e NÃO foram fornecidas aqui (essas são necessárias para obter respostas numéricas):
  • área da seção transversal do concreto \;A;
  • momento de inércia da seção em relação ao centroide \;I;
  • distância do centroide até a fibra inferior e superior (ou, equivalentemente, as alturas y_{\text{inf}} e y_{\text{sup}} ou c_{\text{inf}} e c_{\text{sup}});
  • posição (excentricidade) da linha de protensão em relação ao centroide, isto é \;e (se a protensão não passa pelo centroide ela gera momento F_p e);
  • momento causado pela carga P no meio do vão (ou o valor de P e a geometria para obter esse momento) — necessário para (b) e para a combinação;
  • qualquer informação sobre perdas de protensão, distribuição de cordoalhas (se concentram em uma linha), etc., caso se queira maior refinamento.
Como a figura/geomtria e os esforços da Questão 1 não foram enviados, não há como calcular numericamente as tensões pedidas. Abaixo eu explico, passo a passo e de forma didática, como calcular cada item assim que você me fornecer os dados que faltam.

Passo 2

Conceito básico: tensão normal por flexão simples.
  • Quando uma viga está submetida a um momento fletor \;M, a tensão normal devido à flexão em uma fibra situada a uma distância \;y do centroide (positivo para fibra abaixo do centroide, por exemplo) é dada por
\sigma_{\text{flex}}=\dfrac{M\,y}{I}.
Expliquei as variáveis:
  • \;M é o momento fletor (unidade: \mathrm{kN\cdot m} ou \mathrm{N\cdot m});
  • \;y é a distância da fibra ao centroide (unidade: \mathrm{m} ou \mathrm{mm});
  • \;I é o momento de inércia da seção transversal em relação ao centroide (unidade: \mathrm{m^4} ou \mathrm{mm^4});
  • \;\sigma_{\text{flex}} tem unidade de tensão ( \mathrm{MPa} ou \mathrm{N/mm^2}).
    Observações importantes:
  • Se \sigma_{\text{flex}}>0 consideramos tensão de tração; se \sigma_{\text{flex}}<0 é compressão (pode adotar a convenção oposta, mas ser consistente).
  • Para calcular a tensão na fibra superior ou inferior, use y=y_{\text{sup}} ou y=y_{\text{inf}} (distâncias absolutas ao centroide).
  • É usual usar o módulo de seção S=I/c (onde c é a distância à fibra extrema) e escrever \sigma = M/S.

Passo 3

(a) Como calcular as tensões devido apenas ao peso próprio (PP).
  • Momento conhecido: \;M_{PP}=16{,}875\\ \mathrm{kNm} (dado).
  • Transforme unidades se necessário para ficar consistente com I e y (por exemplo, converter \mathrm{kN\cdot m} para \mathrm{N\cdot mm} multiplicando por 10^6, se I estiver em \mathrm{mm^4} e y em \mathrm{mm}).
  • Tensão na fibra inferior (assumindo que a fibra inferior fica em tração para o momento fletor dado): usar
\sigma_{\text{inf,PP}}=\dfrac{M_{PP}\,y_{\text{inf}}}{I}.
  • Tensão na fibra superior:
\sigma_{\text{sup,PP}}=\dfrac{M_{PP}\,y_{\text{sup}}}{I}.
  • Sinal: se o momento for sagging (concavidade para cima), a fibra inferior será tracionada ( \sigma>0) e a superior comprimida ( \sigma<0); ajuste o sinal conforme a convenção adotada.
  • Para obter valores numéricos, preciso que você me passe \;A,\;I,\;y_{\text{inf}},\;y_{\text{sup}} (ou dimensões da seção para eu calcular A e I).

Passo 4

(b) Tensões devido à carga P.
  • Se o enunciado da Questão 1 forneceu o momento no meio do vão gerado por P, denote-o por \;M_P. Se tiver apenas o valor da carga P, preciso também da arranjo de carregamento (por exemplo carga concentrada no meio, carga distribuída, vão simples, etc.) para calcular M_P.
  • Uma vez conhecido \;M_P, as tensões na fibra inferior e superior são, analogamente,
\sigma_{\text{inf},P}=\dfrac{M_P\,y_{\text{inf}}}{I},\qquad \sigma_{\text{sup},P}=\dfrac{M_P\,y_{\text{sup}}}{I}.
  • Novamente, atenção ao sinal do momento (traição na fibra inferior ou superior).

Passo 5

(c) Como determinar o número de cordoalhas para zerar a tensão de tração (PP + carga P).
Explicação física e fórmulas (modelo simples: todas cordoalhas resultam numa única força resultante F_p aplicada com excentricidade e em relação ao centroide; desprezamos perdas e consideramos ação estática direta):
  • A protensão total F_p produz:
    • uma compressão axial média na seção: \sigma_{a}=-\dfrac{F_p}{A} (negativa = compressão);
    • um momento fletor devido à excentricidade: M_p=F_p\,e, que gera na fibra a tensão por flexão \sigma_{b,p}=-\dfrac{M_p\,y}{I}=-\dfrac{F_p e\,y}{I} (sinal negativo porque o momento do pré-esforço é de compressão na fibra que antes estava em tração).
  • A condição para zerar a tensão de tração na fibra tracionada (por exemplo, a fibra inferior) sob a combinação (PP + P + protensão) é:
\sigma_{\text{inf,PP}}+\sigma_{\text{inf},P}+\sigma_{a}+\sigma_{b,p}=0.
  • Agrupando as expressões (tomando y=y_{\text{inf}}):
\dfrac{(M_{PP}+M_P)\,y_{\text{inf}}}{I}-F_p\!\left(\dfrac{1}{A}+\dfrac{e\,y_{\text{inf}}}{I}\right)=0.
  • Isolando F_p:
F_p=\dfrac{\dfrac{(M_{PP}+M_P)\,y_{\text{inf}}}{I}}{\dfrac{1}{A}+\dfrac{e\,y_{\text{inf}}}{I}}.
  • O número de cordoalhas necessário é
N_{\text{cord}}=\left\lceil \dfrac{F_p}{F_{\text{cord}}}\right\rceil,
onde \lceil\cdot\rceil é o teto (próximo inteiro superior) e \;F_{\text{cord}}=120\\ \mathrm{kN}.
  • Observação didática: a fórmula acima mistura efeito axial e efeito de momento do pré-esforço. Se a protensão passar exatamente pelo centroide ( e=0), a protensão só produz eixo normal e então
F_p=\dfrac{(M_{PP}+M_P)\,y_{\text{inf}}/I}{1/A} = (M_{PP}+M_P)\dfrac{y_{\text{inf}}}{I}\,A.
  • Para obter F_p numericamente preciso de \;A,\;I,\;y_{\text{inf}},\;e e de M_P.

Passo 6

(d) Tensões na combinação (PP + protensão).
  • Uma vez escolhido N_{\text{cord}} (portanto F_p=N_{\text{cord}}\cdot F_{\text{cord}}), as tensões nas fibras extrema são:
\sigma_{\text{inf,comb}}=\dfrac{(M_{PP}+M_P)\,y_{\text{inf}}}{I}-F_p\!\left(\dfrac{1}{A}+\dfrac{e\,y_{\text{inf}}}{I}\right),
\sigma_{\text{sup,comb}}=\dfrac{(M_{PP}+M_P)\,(-y_{\text{sup}})}{I}-F_p\!\left(\dfrac{1}{A}-\dfrac{e\,y_{\text{sup}}}{I}\right).
Explicação do segundo: para a fibra superior a distância y relativa ao centroide pode ser tomada negativa se usar sinal; acima eu escrevi explicitamente o sinal para deixar a fórmula consistente (usar a convenção que preferir desde que os sinais sejam coerentes).
  • Se preferir expressar sem sinais estranhos, pode calcular separadamente as tensões de flexão positiva e depois somar o efeito axial e de momento da protensão conforme o caso.

Passo 7

(e) Verificação dos limites do concreto.
  • Critério: verificar se
\sigma_{\text{trac,comb}}\le 3{,}50\\ \mathrm{MPa}
e
|\sigma_{\text{comp,comb}}|\le 30\\ \mathrm{MPa},
onde \sigma_{\text{trac,comb}} é a tensão de tração (valor positivo) na fibra que fica tracionada na combinação, e \sigma_{\text{comp,comb}} é a tensão de compressão (valor negativo, comparar o módulo) na fibra comprimida.
  • Use as fórmulas do Passo 6 para obter os valores numéricos e compare com os limites. Se uma das desigualdades não for satisfeita, a combinação não é atendida.

Passo 8

Resumo final e pedido de dados faltantes (o porquê da impossibilidade de cálculo numérico).
  • Com os dados enviados até agora só é possível descrever o método e as fórmulas (o que fiz acima). Para obter os valores numéricos pedidos nos itens (a) a (e) você precisa me fornecer, no mínimo, os seguintes dados (retorne exatamente estes valores ou envie a figura da seção com dimensões):
    1. área da seção transversal \;A (ou as dimensões da seção para eu calcular A);
    2. momento de inércia da seção \;I (ou as dimensões da seção para eu calcular I);
    3. distância do centroide até a fibra inferior \;y_{\text{inf}} e até a fibra superior \;y_{\text{sup}} (ou as dimensões que permitem calcular essas distâncias);
    4. excentricidade da protensão \;e em relação ao centroide (perfil da cordoalha: posição vertical);
    5. momento causado pela carga P no meio do vão \;M_P (ou o valor de P e a distribuição/geometria para eu calcular M_P);
    6. confirmação se devemos desprezar perdas de protensão e se todas as cordoalhas podem ser consideradas concentradas numa resultante F_p com excentricidade e (modelo simplificado).
  • Assim que você me mandar esses dados (ou a figura da seção e o valor de M_P), eu calculo passo a passo os números, mostro as contas detalhadas, obtenho N_{\text{cord}} (arredondando para o próximo inteiro) e verifico as tensões em relação aos limites fornecidos. Vou apresentar tudo no formato de passos que você pediu, sem pular etapas — combinado?

Resposta

Não é possível fornecer os valores numéricos solicitados porque faltam dados essenciais: A,\;I,\;y_{\text{inf}},\;y_{\text{sup}},\;e e o momento \;M_P gerado pela carga P.

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