Questão 16 - Um trem entra em uma seção curva horizontal da via a uma velocidade de 100 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e reduz a velocidade com desaceleração constante para 50 \mathrm{~km} / \mathrm{h} em 12 s . Um acelerômetro montado dentro do trem registra uma aceleração horizontal de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} quando o trem está há 6 s dentro da curva. Calcule o raio de curvatura da via nesse instante.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o raio de curvatura da via no instante em que o trem está há 6 s dentro da curva. As informações dadas são:
  • Velocidade inicial do trem ao entrar na curva: 100\\ \mathrm{km/h}.
  • Velocidade final após 12\\ \mathrm{s}: 50\\ \mathrm{km/h}.
  • A desaceleração é constante durante esses 12\\ \mathrm{s}.
  • Um acelerômetro dentro do trem registra uma aceleração horizontal de 2\\ \mathrm{m/s^2} no instante t=6\\ \mathrm{s} dentro da curva.
  • Queremos o raio de curvatura R da via nesse instante.

Passo 2

Converter as velocidades para \mathrm{m/s} (porque as fórmulas de cinemática usam o SI):
v_0 = 100\\ \mathrm{km/h} = \frac{100\cdot 1000}{3600}\\ \mathrm{m/s} = 27{,}777\ldots\\ \mathrm{m/s}
v_f = 50\\ \mathrm{km/h} = \frac{50\cdot 1000}{3600}\\ \mathrm{m/s} = 13{,}888\ldots\\ \mathrm{m/s}
A desaceleração tangencial constante \,a_t, é dada por variação de velocidade sobre o tempo:
a_t = \frac{v_f - v_0}{\Delta t} = \frac{13{,}888\ldots - 27{,}777\ldots}{12}\\ \mathrm{m/s^2}.
Calculemos isso exatamente em fração: v_0=\dfrac{250}{9}\\ \mathrm{m/s}, v_f=\dfrac{125}{9}\\ \mathrm{m/s}. Então
a_t = \frac{\tfrac{125}{9}-\tfrac{250}{9}}{12} = -\frac{125}{108}\\ \mathrm{m/s^2}\approx -1{,}157407\\ \mathrm{m/s^2}.
Interpretação: o sinal negativo mostra que é uma desaceleração ao longo da direção tangencial.

Passo 3

Calcular a velocidade instantânea no tempo t=6\\ \mathrm{s}. Usamos a equação do movimento com aceleração constante:
v(t) = v_0 + a_t\,t.
Substituindo:
v(6) = \frac{250}{9} + \left(-\frac{125}{108}\right)\cdot 6.
Fazendo a conta (mantendo frações para precisão):
v(6) = \frac{250}{9} - \frac{125}{18} = \frac{500-125}{18} = \frac{375}{18} = \frac{125}{6}\\ \mathrm{m/s}\approx 20{,}8333\\ \mathrm{m/s}.
Observação prática: 20{,}8333\\ \mathrm{m/s} corresponde a 75\\ \mathrm{km/h} — é o valor no instante médio, já que foi redução linear de 100 para 50 km/h.

Passo 4

Entender o que o acelerômetro registra: montado dentro do trem ele mede a aceleração que o corpo sente no plano horizontal — ou seja, a soma vetorial das componentes tangencial (longitudinal, aqui de módulo |a_t|) e normal (lateral, centrípeta, a_n). Como as duas componentes são perpendiculares (tangente e normal), o módulo da aceleração horizontal medida é
a_{\text{medida}} = \sqrt{a_t^2 + a_n^2}.
No enunciado temos a_{\text{medida}}=2\\ \mathrm{m/s^2}. Dessa equação podemos isolar a_n:
a_n = \sqrt{a_{\text{medida}}^2 - a_t^2}.
(Aqui explico: a_t aponta ao longo da linha do trilho (para trás, porque desacelera) e a_n aponta para o centro da curva; o acelerômetro registra a resultante desses dois vetores no plano horizontal.)

Passo 5

Calcular a_n numericamente. Já temos a_{\text{medida}}=2\\ \mathrm{m/s^2} e |a_t|=\dfrac{125}{108}\\ \mathrm{m/s^2}\approx 1{,}157407\\ \mathrm{m/s^2}. Então
a_n = \sqrt{2^2 - \left(\frac{125}{108}\right)^2} = \sqrt{4 - \frac{15625}{11664}} = \sqrt{\frac{46618,\!...}{11664}} \approx 1{,}63159\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 6

Para movimento em curva, a componente normal da aceleração é a aceleração centrípeta dada por
a_n = \frac{v^2}{R},
onde v é a velocidade instantânea e R é o raio de curvatura. Isolando R:
R = \frac{v^2}{a_n}.
Substituindo v=v(6)=\dfrac{125}{6}\\ \mathrm{m/s} (ver Passo 3) e a_n\approx 1{,}63159\\ \mathrm{m/s^2}:
v^2 = \left(\frac{125}{6}\right)^2 = \frac{15625}{36}\\ \mathrm{m^2/s^2}\approx 434{,}02778\\ \mathrm{m^2/s^2}.
Portanto
R \approx \frac{434{,}02778}{1{,}63159}\\ \mathrm{m} \approx 266{,}1\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Interpretando: o raio de curvatura da via no instante pedido é da ordem de algumas centenas de metros; o cálculo acima dá R\approx 266{,}1\\ \mathrm{m}. Boa notícia: conseguimos chegar ao valor usando apenas as fórmulas básicas de cinemática e a relação centrípeta. Vai dar certo na prova — respira, você mandou bem seguindo os passos.

Resposta

R \approx 266{,}1\\ \mathrm{m}

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