Um homem consegue remar um barco, em águas paradas, com uma velocidade de 4,5 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. (a) Suponha que ele esteja atravessando um rio em que a velocidade da correnteza vale 2,0 \mathrm{~km} / \mathrm{h}; determine a direção segundo a qual ele deve orientar o barco para que ele atinja um ponto diretamente oposto ao ponto de onde ele partiu numa das margens do rio. (b) Se a largura do rio for igual a 3,0 \mathrm{~km}, quanto tempo o barco levará para atravessar o rio nas condições do item anterior? (c) Quanto tempo ele gastaria se o homem remasse 2,0 \mathrm{~km} rio abaixo e, em seguida, ele retornasse ao ponto de partida? (d) Quanto tempo ele gastaria para fazer um percurso inverso ao do item anterior, isto é, primeiro remar 2,0 \mathrm{~km} rio acima e,em seguida, retornar ao ponto de partida?
(e) Em que direção o homem deveria orientar o barco se ele desejasse atravessar o rio no menor tempo possível?

Passo 1

O enunciado dá a velocidade do barco em águas paradas, \,v_b=4,5\text{ km/h}, e a velocidade da correnteza, \,v_r=2,0\text{ km/h}.
(a) pede a direção para que o barco chegue em linha reta com o ponto de partida;
(b) o tempo para atravessar um rio de largura 3,0\text{ km} nessa condição;
(c) o tempo para remar 2,0\text{ km} rio abaixo e voltar;
(d) o tempo para remar 2,0\text{ km} rio acima e voltar;
(e) a direção para atravessar no menor tempo.
Vamos decompor velocidades e usar componentes vetoriais e a ideia de que o tempo é distância sobre velocidade resultante.

Passo 2

Para anular o arraste da correnteza na direção paralela à margem, escolhemos um ângulo \theta medido a partir da perpendicular à margem, apontando contra a corrente.
A componente paralela ao rio do vetor-velocidade do barco é
v_b\sin\theta
e deve igualar v_r. Logo
\sin\theta=\frac{v_r}{v_b}=\frac{2,0}{4,5}\approx0,4444
\theta=\arcsin(0,4444)\approx26,4^\circ
Então ele deve apontar o barco 26,4^\circ acima da perpendicular, a montante.

Passo 3

Nessa mesma orientação, a componente perpendicular à margem é
v_\perp=v_b\cos\theta =\sqrt{v_b^2-v_r^2} =\sqrt{4,5^2-2,0^2} =\sqrt{20,25-4} =\sqrt{16,25} \approx4,03\text{ km/h}.
Para atravessar 3,0\text{ km}, o tempo é
t=\frac{3,0}{4,03}\approx0,744\text{ h}\approx44{,}6\text{ min}.

Passo 4

Ao remar 2,0\text{ km} rio abaixo apontando exatamente na direção da corrente, a velocidade resultante vale
v_{\rm down}=v_b+v_r=4,5+2,0=6,5\text{ km/h},
e o tempo
t_{\rm down}=\frac{2,0}{6,5}\approx0,308\text{ h}\approx18{,}5\text{ min}.
Para voltar rio acima,
v_{\rm up}=v_b-v_r=4,5-2,0=2,5\text{ km/h}, \quad t_{\rm up}=\frac{2,0}{2,5}=0,8\text{ h}=48\text{ min}.
Total
t=t_{\rm down}+t_{\rm up}\approx0,308+0,8=1,108\text{ h}\approx66{,}5\text{ min}.

Passo 5

Se primeiro remar 2,0\text{ km} rio acima e depois voltar rio abaixo, os valores de t_{\rm up} e t_{\rm down} são os mesmos do passo anterior, só invertidos de ordem. Portanto o tempo total continua
t\approx1,108\text{ h}\approx66{,}5\text{ min}.

Passo 6

Para atravessar no menor tempo possível, basta maximizar a componente perpendicular v_\perp. Isso ocorre se ele apontar o barco exatamente na direção perpendicular à margem \theta=0, pois
v_\perp=v_b\cos0=4,5\text{ km/h}
é maior que qualquer componente perpendicular obtida com \theta\neq0.

Resposta

(a) \theta\approx26,4^\circ acima da perpendicular, a montante.
(b) t\approx0,744\text{ h}\approx44{,}6\text{ min}.
(c) t\approx1,108\text{ h}\approx66{,}5\text{ min}.
(d) t\approx1,108\text{ h}\approx66{,}5\text{ min}.
(e) Apontar o barco exatamente perpendicular à margem \theta=0.

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