Um piloto deseja voar de Oeste para Leste, de um ponto P a um ponto Q e, em seguida, seguir de Leste para Oeste, retornando ao ponto P. A velocidade do avião, no ar, é igual a \mathbf{v}^{\prime} e a velocidade do ar em relação ao solo é igual a \mathbf{u}. A distância entre P e Q vale D e a velocidade do avião no ar \mathrm{v}^{\prime} é constante. (a) Se u=0 (ar parado), mostre que o tempo para a viagem de ida e volta vale t_{0}=2 D / v^{\prime}. (b) Suponha que a velocidade do vento esteja dirigida para Leste (ou para Oeste); neste caso, mostre que o tempo de ida e volta será:
t_{L}=\frac{t_{0}}{1-u^{2} /\left(v^{\prime}\right)^{2}}
(c) No item anterior devemos supor u<v^{\prime}. Por quê?

Passo 1

O enunciado trata de um caso unidimensional de velocidades relativas: o avião tem velocidade constante em relação ao ar \,v' e o ar (vento) desloca-se com velocidade constante em relação ao solo \,u. A distância entre P e Q é D. Vamos usar a ideia de velocidade resultante em cada trecho e a definição de tempo como distância dividida pela velocidade escalar ao longo do solo.

Passo 2

(a) Quando não há vento u=0, a velocidade do avião relativa ao solo é sempre igual à sua velocidade no ar, ou seja, \,v_{\text{solo}}=v' tanto na ida quanto na volta. Logo, o tempo de ida é
t_{\text{ida}}=\frac{D}{v'}
e o tempo de volta é
t_{\text{volta}}=\frac{D}{v'}.
Somando-os, obtemos
t_{0}=t_{\text{ida}}+t_{\text{volta}} = \frac{D}{v'} + \frac{D}{v'} = \frac{2D}{v'}.

Passo 3

(b) Supondo vento constante na mesma direção do eixo leste-oeste:
  • Na ida (Oeste→Leste), a velocidade do avião em relação ao solo é
v_{\text{ida}} = v'+u,
portanto
t_{\text{ida}} = \frac{D}{v'+u}.
  • Na volta (Leste→Oeste), o vento atrasa o avião, de modo que a velocidade sobre o solo é
v_{\text{volta}} = v' - u,
logo
t_{\text{volta}} = \frac{D}{v'-u}.
O tempo total fica
t_{L} = \frac{D}{v'+u} \;+\;\frac{D}{v'-u} = \frac{D\bigl[(v'-u)+(v'+u)\bigr]}{(v'+u)(v'-u)} = \frac{2D\,v'}{v'^2 - u^2}.
Como t_{0}=2D/v', segue
t_{L} = \frac{2D/v'}{1 - u^2/v'^2} = \frac{t_{0}}{1 - \displaystyle\frac{u^2}{v'^2}}.

Passo 4

(c) Para que o avião realmente progrida na volta, é preciso que a velocidade resultante em relação ao solo seja positiva: v'-u>0. Se u\ge v', teríamos velocidade nula ou negativa na volta, o que tornaria o tempo infinito ou inviabilizaria o retorno. Portanto, devemos supor u<v'.

Resposta

(a) t_{0} = \dfrac{2D}{v'}.
(b) t_{L} = \dfrac{t_{0}}{1 - \displaystyle\frac{u^{2}}{v'^{2}}}.
(c) Porque é necessário v'-u>0 para que o avião tenha velocidade positiva em relação ao solo na volta, o que exige u<v'.

Exercícios relacionados