O homem M de 150 lb salta para um bote B de 200 lb . Se o homem tem um componente horizontal de velocidade de 3 pés/s, relativamente ao bote, imediatamente antes de tocá-lo, e o bote está se afastando do píer com velocidade de 2 pés/s no momento do salto, determine a velocidade comum ao homem e bote imediatamente após o salto.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a velocidade comum ao homem e ao bote imediatamente após o salto.
Informações dadas:
  • massa (peso) do homem: 150 lb (dado do enunciado).
  • massa (peso) do bote: 200 lb (dado do enunciado).
  • componente horizontal da velocidade do homem relativamente ao bote, imediatamente antes do toque: 3 ft/s (dado do enunciado).
  • velocidade do bote, no momento do salto, afastando-se do píer: 2 ft/s (dado do enunciado).
    Pergunta a responder: qual é a velocidade comum v_{\text{final}} (em ft/s) do homem + bote imediatamente após o salto?

Passo 2

Observação física e justificativa do método (sem ainda calcular): o contato do homem com o bote ocorre horizontalmente e é muito breve, de modo que podemos considerar que não há impulso horizontal externo relevante durante a interação (a força do píer não atua horizontalmente no sistema homem+bote). Assim, a quantidade de movimento (momentum) horizontal do sistema homem+bote é conservada durante o choque (salto). Portanto usamos conservação da quantidade de movimento horizontal para achar a velocidade comum após o choque.

Passo 3

Entender velocidades relativas: quando o enunciado diz que a velocidade horizontal do homem é 3 ft/s relativamente ao bote, isso significa
v_{\text{homem/boat}} = 3\\ \text{ft/s}.
A velocidade do bote em relação ao solo é
v_{\text{boat}} = 2\\ \text{ft/s}.
A relação entre velocidades (velocidade do homem no solo = velocidade do homem relativa ao bote + velocidade do bote no solo) é
v_{\text{homem}} = v_{\text{homem/boat}} + v_{\text{boat}}.
Como os sinais estão no mesmo sentido (o homem salta na direção do bote que se afasta), substituímos:
v_{\text{homem}} = 3 + 2 = 5\\ \text{ft/s}.

Passo 4

Escrever a equação de conservação da quantidade de movimento horizontal. Usaremos símbolos:
  • m_h = massa do homem (proporcional ao peso 150 lb),
  • m_b = massa do bote (proporcional ao peso 200 lb),
  • v_h = velocidade do homem antes do impacto (no solo),
  • v_b = velocidade do bote antes do impacto,
  • v_f = velocidade comum após o impacto (o que queremos).
A conservação do momentum dá
m_h v_h + m_b v_b = (m_h + m_b)\,v_f.

Passo 5

Explicar o uso dos pesos ( lb ) ) como massas: no sistema inglês a massa em slugs é dada por \(m = W/g, onde W é o peso em lb e g é a aceleração da gravidade. Como g é o mesmo para homem e bote, ele aparece em todos os termos e se cancela na razão. Logo podemos usar diretamente os pesos (proporcionais às massas) na fórmula sem calcular slugs, isto é,
v_f = \frac{W_h v_h + W_b v_b}{W_h + W_b},
onde W_h=150 e W_b=200 (ambos em lb).)

Passo 6

Substituir os números que já identificamos:
v_h = 5\\ \text{ft/s},\qquad v_b = 2\\ \text{ft/s},\qquad W_h = 150,\qquad W_b = 200.
Logo
v_f = \frac{150\cdot 5 + 200\cdot 2}{150 + 200}.

Passo 7

Fazer as contas passo a passo:
150\cdot 5 = 750,
200\cdot 2 = 400,
750 + 400 = 1150,
150 + 200 = 350.
Portanto
v_f = \frac{1150}{350}.

Passo 8

Simplificar a fração:
\frac{1150}{350} = \frac{1150\div 50}{350\div 50} = \frac{23}{7}.
Em decimal,
\frac{23}{7}\approx 3{,}285714\\ \text{ft/s}.
Observação física rápida: o valor final 3{,}2857 ft/s está entre v_b=2 ft/s e v_h=5 ft/s, o que faz sentido porque a velocidade comum fica numa média ponderada conforme as massas (pesos).

Resposta

\dfrac{23}{7}\\ \text{ft/s}\\ (\approx 3{,}2857\\ \text{ft/s})

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