O homem
de 150 lb salta para um bote
de 200 lb . Se o homem tem um componente horizontal de velocidade de 3 pés/s, relativamente ao bote, imediatamente antes de tocá-lo, e o bote está se afastando do píer com velocidade de 2 pés/s no momento do salto, determine a velocidade comum ao homem e bote imediatamente após o salto.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a velocidade comum ao homem e ao bote imediatamente após o salto.
Informações dadas:
Informações dadas:
- massa (peso) do homem:
lb (dado do enunciado). - massa (peso) do bote:
lb (dado do enunciado). - componente horizontal da velocidade do homem relativamente ao bote, imediatamente antes do toque:
ft/s (dado do enunciado). - velocidade do bote, no momento do salto, afastando-se do píer:
ft/s (dado do enunciado).
Pergunta a responder: qual é a velocidade comum(em ft/s) do homem + bote imediatamente após o salto?
Passo 2
Observação física e justificativa do método (sem ainda calcular): o contato do homem com o bote ocorre horizontalmente e é muito breve, de modo que podemos considerar que não há impulso horizontal externo relevante durante a interação (a força do píer não atua horizontalmente no sistema homem+bote). Assim, a quantidade de movimento (momentum) horizontal do sistema homem+bote é conservada durante o choque (salto). Portanto usamos conservação da quantidade de movimento horizontal para achar a velocidade comum após o choque.
Passo 3
Entender velocidades relativas: quando o enunciado diz que a velocidade horizontal do homem é
ft/s relativamente ao bote, isso significa
A velocidade do bote em relação ao solo é
A relação entre velocidades (velocidade do homem no solo = velocidade do homem relativa ao bote + velocidade do bote no solo) é
Como os sinais estão no mesmo sentido (o homem salta na direção do bote que se afasta), substituímos:
Passo 4
Escrever a equação de conservação da quantidade de movimento horizontal. Usaremos símbolos:
-
= massa do homem (proporcional ao peso lb), -
= massa do bote (proporcional ao peso lb), -
= velocidade do homem antes do impacto (no solo), -
= velocidade do bote antes do impacto, -
= velocidade comum após o impacto (o que queremos).
A conservação do momentum dá
Passo 5
Explicar o uso dos pesos (
lb
, onde
é o peso em lb e
é a aceleração da gravidade. Como
é o mesmo para homem e bote, ele aparece em todos os termos e se cancela na razão. Logo podemos usar diretamente os pesos (proporcionais às massas) na fórmula sem calcular slugs, isto é,
onde
e
(ambos em lb).)
Passo 6
Substituir os números que já identificamos:
Logo
Passo 7
Fazer as contas passo a passo:
Portanto
Passo 8
Simplificar a fração:
Em decimal,
Observação física rápida: o valor final
ft/s está entre
ft/s e
ft/s, o que faz sentido porque a velocidade comum fica numa média ponderada conforme as massas (pesos).