A thin strip of rubber has an unstretched length of 15 in . If it is stretched around a pipe having an outer diameter of 5 in ., determine the average normal strain in the strip.

Passo 1

O enunciado diz que uma tira de borracha tem comprimento sem esticar igual a 15\\ \text{in} e que ela é esticada ao redor de um tubo cujo diâmetro externo é 5\\ \text{in}. A pergunta é: qual é a deformação normal média na tira (ou seja, a média do alongamento relativo)?
Dado:
\text{comprimento inicial } L_0 = 15\\ \text{in}
\text{diâmetro do tubo } d = 5\\ \text{in}â
O pedido:
  • Calcular a deformação normal média (engineering strain) da tira quando colocada ao redor do tubo.

Passo 2

Vamos definir claramente o que é a deformação normal média que precisamos calcular. A deformação normal média (também chamada de deformação engineering) é a razão entre o aumento (ou redução) do comprimento e o comprimento inicial. Em fórmula:
\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0}
Aqui:
  • \varepsilon é a deformação média (adimensional).
  • \Delta L é a variação do comprimento, isto é \Delta L = L - L_0.
  • L_0 é o comprimento inicial (sem deformação).
Essa é a fórmula mais direta que se usa em provas: “mudança relativa no comprimento”.

Passo 3

Precisamos do comprimento final L da tira depois de colocada no tubo. Quando a tira envolve o tubo completamente, seu comprimento final é a circunferência externa do tubo. A fórmula da circunferência em função do diâmetro é:
L = \pi d
Usando o valor dado do diâmetro ( d=5\\ \text{in}), temos o comprimento final em termos de \pi.

Passo 4

Calculemos explicitamente o comprimento final:
L = \pi d = \pi \cdot 5 = 5\pi\\ \text{in}.

Passo 5

Agora calculamos a variação de comprimento \Delta L:
\Delta L = L - L_0 = 5\pi - 15.
Fatorando:
\Delta L = 5(\pi - 3)\\ \text{in}.

Passo 6

Substituímos \Delta L e L_0 na fórmula da deformação média:
\varepsilon = \frac{\Delta L}{L_0} = \frac{5\pi - 15}{15}.
Simplificando o fator 5:
\varepsilon = \frac{\pi - 3}{3}.
Essa é a expressão exata da deformação média (adimensional).

Passo 7

Agora calculamos um valor numérico aproximado para ter uma sensação prática do alongamento. Usando \pi \approx 3{,}14159265:
\varepsilon \approx \frac{3{,}14159265 - 3}{3} = \frac{0{,}14159265}{3} \approx 0{,}0471976.
Como porcentagem de alongamento:
\varepsilon \approx 4{,}71976\%\approx 4{,}72\%.

Resposta

\dfrac{\pi-3}{3}
0,0471976 (aprox.) = 4,72\%

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