If the normal strain is defined in reference to the final length
, that is,
instead of in reference to the original length, Eq. 2-2, show that the difference in these strains is represented as a second-order term, namely,
.
Passo 1
O enunciado dá a definição alternativa da deformação normal referida ao comprimento final, isto é,
Também existe a definição usual referida ao comprimento original (Eq. 2-2), que em forma finita é
O que nos pedem: mostrar que a diferença entre essas duas deformações satisfaz a relação
isto é, que a diferença é um termo de segunda ordem (produto das duas deformações).
Passo 2
Vamos escrever as duas definições em forma que facilite manipulação algébrica. A partir de
somamos
em ambos os lados para obter
A partir de
subtraímos
de
para obter
Passo 3
Multiplicando as duas igualdades obtidas em cadeia obtemos um produto simples no lado direito:
O produto no lado esquerdo se expande normalmente:
Igualando ao resultado anterior (que vale
) temos
Passo 4
Eliminamos o
dos dois lados e isolamos os termos com
e
:
Rearranjando para isolar a diferença desejada, chega-se a
Passo 5
Interpretação didática: a diferença entre
e
é exatamente o produto
. Para pequenas deformações (quando
e
são números pequenos), o produto
é de ordem muito menor (segunda ordem) e portanto desprezável na aproximação linear — por isso, na prática, usamos
em pequenos deslocamentos.