If the normal strain is defined in reference to the final length \Delta s^{\prime}, that is,
\epsilon^{\prime}=\lim _{\Delta s^{\prime} \rightarrow 0}\left(\frac{\Delta s^{\prime}-\Delta s}{\Delta s^{\prime}}\right)
instead of in reference to the original length, Eq. 2-2, show that the difference in these strains is represented as a second-order term, namely, \epsilon-\epsilon^{\prime}=\epsilon \epsilon^{\prime}.

Passo 1

O enunciado dá a definição alternativa da deformação normal referida ao comprimento final, isto é,
\epsilon'=\lim_{\Delta s'\to 0}\left(\frac{\Delta s'-\Delta s}{\Delta s'}\right).
Também existe a definição usual referida ao comprimento original (Eq. 2-2), que em forma finita é
\epsilon=\frac{\Delta s'-\Delta s}{\Delta s}.
O que nos pedem: mostrar que a diferença entre essas duas deformações satisfaz a relação
\epsilon-\epsilon'=\epsilon\,\epsilon',
isto é, que a diferença é um termo de segunda ordem (produto das duas deformações).

Passo 2

Vamos escrever as duas definições em forma que facilite manipulação algébrica. A partir de
\epsilon=\frac{\Delta s'-\Delta s}{\Delta s},
somamos 1 em ambos os lados para obter
1+\epsilon=\frac{\Delta s'}{\Delta s}.
A partir de
\epsilon'=\frac{\Delta s'-\Delta s}{\Delta s'},
subtraímos \epsilon' de 1 para obter
1-\epsilon'=\frac{\Delta s}{\Delta s'}.

Passo 3

Multiplicando as duas igualdades obtidas em cadeia obtemos um produto simples no lado direito:
(1+\epsilon)(1-\epsilon')=\frac{\Delta s'}{\Delta s}\cdot\frac{\Delta s}{\Delta s'}=1.
O produto no lado esquerdo se expande normalmente:
(1+\epsilon)(1-\epsilon')=1+\epsilon-\epsilon'-\epsilon\epsilon'.
Igualando ao resultado anterior (que vale 1) temos
1+\epsilon-\epsilon'-\epsilon\epsilon'=1.

Passo 4

Eliminamos o 1 dos dois lados e isolamos os termos com \epsilon e \epsilon':
\epsilon-\epsilon'-\epsilon\epsilon'=0.
Rearranjando para isolar a diferença desejada, chega-se a
\epsilon-\epsilon'=\epsilon\epsilon'.

Passo 5

Interpretação didática: a diferença entre \epsilon e \epsilon' é exatamente o produto \epsilon\epsilon'. Para pequenas deformações (quando \epsilon e \epsilon' são números pequenos), o produto \epsilon\epsilon' é de ordem muito menor (segunda ordem) e portanto desprezável na aproximação linear — por isso, na prática, usamos \epsilon\approx\epsilon' em pequenos deslocamentos.

Resposta

\epsilon-\epsilon'=\epsilon\,\epsilon'

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