- Um homem com massa
está parado na extremidade de uma canoa também parada, cuja massa é M e comprimento é L. Ele corre até a outra extremidade e salta na água com uma velocidade inicial v, fazendo um ângulo
coma horizontal. (a) Com que velocidade a canoa recua? (b) De quanto a canoa recua até o instante do salto?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas (vou listar exatamente o que está sendo pedido):
- Dados:
- massa do homem:
; - massa da canoa:
; - comprimento da canoa:
; - inicialmente o homem e a canoa estão parados (velocidades iniciais nulas);
- o homem corre até a outra extremidade da canoa e, no instante em que salta, tem velocidade inicial
formando ângulo com a horizontal.
- massa do homem:
- Questões:
(a) Qual é a velocidade com que a canoa recua (imediatamente após o salto)?
(b) De quanto a canoa recuou até o instante do salto (isto é, durante a corrida do homem de uma extremidade à outra)?
Observação importante (escolha feita para a resolução): como o enunciado não especifica se
é medido em relação à canoa ou ao solo, vou adotar a interpretação mais comum para esse tipo de problema:
é a velocidade do homem relativamente à canoa no instante do salto. Vou justificar e usar essa hipótese na resolução (se fosse relativo ao solo a fórmula final para (a) muda de forma simples — eu explico isso se quiser depois).
Passo 2
Conceitos físicos que vou usar (explicados de forma simples):
- Conservação da quantidade de movimento (momentum) na direção horizontal: se não há forças externas horizontais significativas (assumimos água sem atrito horizontal durante o instante do salto e durante a corrida), a soma dos momentos lineares horizontais do homem e da canoa permanece constante. A quantidade de movimento linear horizontal de um corpo é sua massa vezes sua velocidade horizontal.
- Variáveis: massa do homem
, massa da canoa , velocidade da canoa (após o salto) (horizontal, medida no referencial do solo), componente horizontal da velocidade do homem no instante logo após o salto .
- Variáveis: massa do homem
- Conservação da posição do centro de massa na direção horizontal enquanto não existirem forças externas horizontais: se o sistema homem+canoa está livre de forças horizontais externas, o centro de massa do sistema não se desloca (ou seja, sua coordenada horizontal é constante). Isso é útil para calcular quanto a canoa se desloca quando o homem caminha sobre ela.
- Definição prática: coordenada do centro de massa horizontal é
, onde e são as coordenadas horizontais do homem e do centro da canoa, respectivamente.
- Definição prática: coordenada do centro de massa horizontal é
Vou aplicar primeiro a conservação do momentum para achar a velocidade de recuo imediatamente após o salto (parte (a)), e em seguida usar conservação do centro de massa para achar o recuo acumulado durante a corrida (parte (b)).
Passo 3
Resolvendo (a): conservação do momentum horizontal no instante do salto.
Explicação das velocidades envolvidas e sinalização:
- Chamo de positiva a direção para a frente, que é a direção do movimento do homem ao correr e saltar. Quando o homem empurra a canoa para trás, a canoa adquire velocidade no sentido negativo (ou seja, “recua”).
- No instante imediatamente antes do salto o sistema estava em repouso, portanto o momentum total horizontal era zero.
- No instante imediatamente após o salto, a canoa tem velocidade
(horizontal, em relação ao solo) e o homem tem velocidade absoluta horizontal igual à soma de duas contribuições: a velocidade do homem relativa à canoa projetada na horizontal, que é (pela definição de cosseno), mais a velocidade da canoa (porque se a canoa já tiver algum movimento no instante do contato, a velocidade absoluta do homem é mais a relativa). Usamos aqui a hipótese feita em Passo 1: é relativa à canoa. Portanto a componente horizontal da velocidade absoluta do homem logo após o salto é .
Aplicando conservação do momentum horizontal (momentum total antes = momentum total depois):
Expliquei: o termo
é o momentum horizontal da canoa; o termo
é o momentum horizontal do homem.
Agora resolvo essa equação para
:
Logo
Interpretação: o sinal negativo indica que a canoa se move no sentido oposto ao do salto do homem (ou seja, “recua”). A magnitude (velocidade absoluta) do recuo é
Observação rápida: se em vez disso
fosse dado relativo ao solo, a equação de conservação seria
e daria
. Por isso a hipótese sobre o referencial de
é relevante; aqui seguimos a hipótese que fiz no Passo 1.
Passo 4
Comentário físico sobre partes vertical e horizontal do salto:
- A componente vertical
não entra na conservação do momentum horizontal; ela só afeta a trajetória do homem sobre a água (subida/queda). Para o recoil horizontal da canoa interessa apenas a componente horizontal . - A troca de momentum horizontal entre homem e canoa acontece durante o empuxo do salto; tratando-o como quase-instantâneo e sem forças externas horizontais, o momentum horizontal total se conserva.
Passo 5
Resolvendo (b): de quanto a canoa recua enquanto o homem corre da extremidade esquerda até a extremidade direita da canoa (antes do salto).
Estratégia e ideia física (passo-a-passo cuidadoso):
- Enquanto o homem caminha sobre a canoa (processo relativamente lento comparado ao salto), ainda não há forças horizontais externas relevantes (assumimos água sem atrito horizontal). Assim, a coordenada horizontal do centro de massa do sistema homem+canoa permanece constante.
- Vou escolher um eixo horizontal simples para calcular coordenadas: fixo ao solo, com origem inicial tal que o centro da canoa no instante inicial esteja em
. A escolha da origem não altera deslocamentos relativos, apenas simplifica contas. - No começo:
- centro da canoa:
; - o homem está numa extremidade (digamos a extremidade esquerda), logo sua posição inicial é
(pois o centro está em e a extremidade esquerda fica a à esquerda).
- centro da canoa:
- Calculo a posição inicial do centro de massa:
Passo 6
Posição final do sistema quando o homem alcança a outra extremidade (momento imediatamente antes do salto):
- Denoto por
a posição do centro da canoa nesse instante (é o que queremos achar: quanto a canoa recuou, isto é, quanto mudou em relação a ). A posição do homem, estando agora na extremidade direita relativa ao centro da canoa, é
- A posição do centro de massa final deve ser igual à inicial (conservação do centro de massa):
Substituo
na expressão do centro de massa final:
Igualando ao valor inicial
:
Agora isolo
:
Passo 7
Interpretação do resultado de (b):
- O centro da canoa deslocou-se de
para . Assim a canoa recuou, em magnitude,
no sentido oposto ao movimento do homem (o sinal negativo indica direção contrária ao deslocamento do homem). Esse é o deslocamento da canoa até o instante do salto (ou seja, quanto ela se afastou do ponto inicial enquanto o homem foi de uma extremidade à outra).
Passo 8
Resumo e checagem rápida de consistência (sem cálculos adicionais):
- Se
(homem muito mais leve que a canoa), então é pequeno e é pequeno — isso faz sentido fisicamente. - Se
(canoa muito leve), as fórmulas mostram deslocamentos/velocidades grandes (o que também é esperado qualitativamente).
Resposta
(a)
(b)