1. Um homem com massa m está parado na extremidade de uma canoa também parada, cuja massa é M e comprimento é L. Ele corre até a outra extremidade e salta na água com uma velocidade inicial v, fazendo um ângulo \theta coma horizontal. (a) Com que velocidade a canoa recua? (b) De quanto a canoa recua até o instante do salto?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas (vou listar exatamente o que está sendo pedido):
  • Dados:
    • massa do homem: m;
    • massa da canoa: M;
    • comprimento da canoa: L;
    • inicialmente o homem e a canoa estão parados (velocidades iniciais nulas);
    • o homem corre até a outra extremidade da canoa e, no instante em que salta, tem velocidade inicial v formando ângulo \theta com a horizontal.
  • Questões:
    (a) Qual é a velocidade com que a canoa recua (imediatamente após o salto)?
    (b) De quanto a canoa recuou até o instante do salto (isto é, durante a corrida do homem de uma extremidade à outra)?
Observação importante (escolha feita para a resolução): como o enunciado não especifica se v é medido em relação à canoa ou ao solo, vou adotar a interpretação mais comum para esse tipo de problema: v é a velocidade do homem relativamente à canoa no instante do salto. Vou justificar e usar essa hipótese na resolução (se fosse relativo ao solo a fórmula final para (a) muda de forma simples — eu explico isso se quiser depois).

Passo 2

Conceitos físicos que vou usar (explicados de forma simples):
  • Conservação da quantidade de movimento (momentum) na direção horizontal: se não há forças externas horizontais significativas (assumimos água sem atrito horizontal durante o instante do salto e durante a corrida), a soma dos momentos lineares horizontais do homem e da canoa permanece constante. A quantidade de movimento linear horizontal de um corpo é sua massa vezes sua velocidade horizontal.
    • Variáveis: massa do homem m, massa da canoa M, velocidade da canoa (após o salto) V (horizontal, medida no referencial do solo), componente horizontal da velocidade do homem no instante logo após o salto v_{\text{h,x}}.
  • Conservação da posição do centro de massa na direção horizontal enquanto não existirem forças externas horizontais: se o sistema homem+canoa está livre de forças horizontais externas, o centro de massa do sistema não se desloca (ou seja, sua coordenada horizontal é constante). Isso é útil para calcular quanto a canoa se desloca quando o homem caminha sobre ela.
    • Definição prática: coordenada do centro de massa horizontal é \displaystyle x_{\rm cm}=\frac{m x_{\rm man}+M x_{\rm canoa}}{m+M}, onde x_{\rm man} e x_{\rm canoa} são as coordenadas horizontais do homem e do centro da canoa, respectivamente.
Vou aplicar primeiro a conservação do momentum para achar a velocidade de recuo imediatamente após o salto (parte (a)), e em seguida usar conservação do centro de massa para achar o recuo acumulado durante a corrida (parte (b)).

Passo 3

Resolvendo (a): conservação do momentum horizontal no instante do salto.
Explicação das velocidades envolvidas e sinalização:
  • Chamo de positiva a direção para a frente, que é a direção do movimento do homem ao correr e saltar. Quando o homem empurra a canoa para trás, a canoa adquire velocidade no sentido negativo (ou seja, “recua”).
  • No instante imediatamente antes do salto o sistema estava em repouso, portanto o momentum total horizontal era zero.
  • No instante imediatamente após o salto, a canoa tem velocidade V (horizontal, em relação ao solo) e o homem tem velocidade absoluta horizontal igual à soma de duas contribuições: a velocidade do homem relativa à canoa projetada na horizontal, que é v\cos\theta (pela definição de cosseno), mais a velocidade da canoa V (porque se a canoa já tiver algum movimento no instante do contato, a velocidade absoluta do homem é V mais a relativa). Usamos aqui a hipótese feita em Passo 1: v é relativa à canoa. Portanto a componente horizontal da velocidade absoluta do homem logo após o salto é \displaystyle V + v\cos\theta.
Aplicando conservação do momentum horizontal (momentum total antes = momentum total depois):
0 = M V + m\bigl(V + v\cos\theta\bigr).
Expliquei: o termo M V é o momentum horizontal da canoa; o termo m(V+v\cos\theta) é o momentum horizontal do homem.
Agora resolvo essa equação para V:
0 = (M+m)V + m v\cos\theta \quad\Longrightarrow\quad (M+m)V = -m v\cos\theta.
Logo
V = -\dfrac{m v\cos\theta}{M+m}.
Interpretação: o sinal negativo indica que a canoa se move no sentido oposto ao do salto do homem (ou seja, “recua”). A magnitude (velocidade absoluta) do recuo é
\lvert V\rvert = \dfrac{m v\cos\theta}{M+m}.
Observação rápida: se em vez disso v fosse dado relativo ao solo, a equação de conservação seria 0 = M V + m(v\cos\theta) e daria V = -\dfrac{m v\cos\theta}{M}. Por isso a hipótese sobre o referencial de v é relevante; aqui seguimos a hipótese que fiz no Passo 1.

Passo 4

Comentário físico sobre partes vertical e horizontal do salto:
  • A componente vertical v\sin\theta não entra na conservação do momentum horizontal; ela só afeta a trajetória do homem sobre a água (subida/queda). Para o recoil horizontal da canoa interessa apenas a componente horizontal v\cos\theta.
  • A troca de momentum horizontal entre homem e canoa acontece durante o empuxo do salto; tratando-o como quase-instantâneo e sem forças externas horizontais, o momentum horizontal total se conserva.

Passo 5

Resolvendo (b): de quanto a canoa recua enquanto o homem corre da extremidade esquerda até a extremidade direita da canoa (antes do salto).
Estratégia e ideia física (passo-a-passo cuidadoso):
  • Enquanto o homem caminha sobre a canoa (processo relativamente lento comparado ao salto), ainda não há forças horizontais externas relevantes (assumimos água sem atrito horizontal). Assim, a coordenada horizontal do centro de massa do sistema homem+canoa permanece constante.
  • Vou escolher um eixo horizontal simples para calcular coordenadas: fixo ao solo, com origem inicial tal que o centro da canoa no instante inicial esteja em x_{\rm canoa,0}=0. A escolha da origem não altera deslocamentos relativos, apenas simplifica contas.
  • No começo:
    • centro da canoa: x_{\rm canoa,0}=0;
    • o homem está numa extremidade (digamos a extremidade esquerda), logo sua posição inicial é x_{\rm man,0}=-\dfrac{L}{2} (pois o centro está em 0 e a extremidade esquerda fica a L/2 à esquerda).
  • Calculo a posição inicial do centro de massa:
x_{\rm cm,0}=\frac{m x_{\rm man,0}+M x_{\rm canoa,0}}{m+M} =\frac{m\left(-\dfrac{L}{2}\right)+M\cdot 0}{m+M} =-\dfrac{mL}{2(m+M)}.

Passo 6

Posição final do sistema quando o homem alcança a outra extremidade (momento imediatamente antes do salto):
  • Denoto por x_{\rm canoa} a posição do centro da canoa nesse instante (é o que queremos achar: quanto a canoa recuou, isto é, quanto x_{\rm canoa} mudou em relação a 0). A posição do homem, estando agora na extremidade direita relativa ao centro da canoa, é
x_{\rm man}=x_{\rm canoa}+\dfrac{L}{2}.
  • A posição do centro de massa final deve ser igual à inicial (conservação do centro de massa):
x_{\rm cm,\,final}=\frac{m x_{\rm man}+M x_{\rm canoa}}{m+M}=x_{\rm cm,\,0}=-\dfrac{mL}{2(m+M)}.
Substituo x_{\rm man}=x_{\rm canoa}+\dfrac{L}{2} na expressão do centro de massa final:
\frac{m\bigl(x_{\rm canoa}+\dfrac{L}{2}\bigr)+M x_{\rm canoa}}{m+M} = x_{\rm canoa} + \frac{mL}{2(m+M)}.
Igualando ao valor inicial -\dfrac{mL}{2(m+M)}:
x_{\rm canoa} + \frac{mL}{2(m+M)} = -\frac{mL}{2(m+M)}.
Agora isolo x_{\rm canoa}:
x_{\rm canoa} = -\frac{mL}{2(m+M)} - \frac{mL}{2(m+M)} = -\frac{mL}{m+M}.

Passo 7

Interpretação do resultado de (b):
  • O centro da canoa deslocou-se de 0 para x_{\rm canoa}=-\dfrac{mL}{m+M}. Assim a canoa recuou, em magnitude,
\Delta x = \frac{mL}{m+M},
no sentido oposto ao movimento do homem (o sinal negativo indica direção contrária ao deslocamento do homem). Esse é o deslocamento da canoa até o instante do salto (ou seja, quanto ela se afastou do ponto inicial enquanto o homem foi de uma extremidade à outra).

Passo 8

Resumo e checagem rápida de consistência (sem cálculos adicionais):
  • Se m\ll M (homem muito mais leve que a canoa), então \Delta x \approx \dfrac{m}{M}L é pequeno e V\approx -\dfrac{m}{M}v\cos\theta é pequeno — isso faz sentido fisicamente.
  • Se M\to 0 (canoa muito leve), as fórmulas mostram deslocamentos/velocidades grandes (o que também é esperado qualitativamente).

Resposta

(a) V = -\dfrac{m v\cos\theta}{M+m}
(b) \Delta x = \dfrac{m L}{M+m}

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