- Uma barra é lançada como um projétil com velocidade inicial do centro de massa com módulo igual a
, fazendo um ângulo
com a horizontal. A altura inicial do centro de massa da barra é
e a barra inicia seu movimento totalmente na horizontal. A barra é lançada de modo que ela sai como uma rotação de 5 voltas por segundo em torno do eixo que passa pelo seu centro de massa. Escreva as equações de movimento da posição do centro de massa e do ângulo de rotação da barra.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda):
- Dados fornecidos:
- Velocidade inicial do centro de massa:
(módulo). - Direção inicial da velocidade: faz um ângulo
com a horizontal. - Altura inicial do centro de massa:
. - A barra inicia totalmente na horizontal.
- A barra tem rotação inicial de
voltas por segundo em torno do eixo que passa pelo seu centro de massa.
- Velocidade inicial do centro de massa:
- Condições assumidas (necessárias e usuais nesse tipo de problema):
- Não há resistência do ar; a única força externa é o peso (aceleração da gravidade).
- Não há torque externo que mude a rotação em torno do centro de massa, logo a velocidade angular em torno do CM é constante.
- O que o enunciado pede:
- Escrever as equações de movimento da posição do centro de massa (isto é,
e ). - Escrever a equação do ângulo de rotação da barra (digamos
), em função do tempo.
- Escrever as equações de movimento da posição do centro de massa (isto é,
Passo 2
Escolher sistema de referência e decompor a velocidade inicial:
- Eixo
: horizontal para a direita. - Eixo
: vertical para cima. - Tomar a origem em
e a posição vertical inicial . - Decomposição da velocidade inicial do CM em componentes:
Explicação didática: decompor uma velocidade num vetor em duas direções perpendiculares é feito com cosseno (componente ao longo da horizontal) e seno (componente ao longo da vertical). A componente horizontal dirige o deslocamento em
; a componente vertical dirige o deslocamento em
.
Passo 3
Equação do movimento horizontal
:
- Como não há força horizontal (ignorar atrito/arrasto), a aceleração na direção
é zero: - Integração: velocidade horizontal é constante
. Integrando para posição com ,
Comentário prático: na prova pode decorar que sem aceleração horizontal o movimento é retilíneo uniforme.
Passo 4
Equação do movimento vertical
:
- A única aceleração vertical é a gravidade para baixo:
(com ). - Integração passo a passo:
- Velocidade vertical: integrar
: Explicação: integrar aceleração dá velocidade; o sinal negativo indica que a gravidade reduz a componente vertical para cima. - Posição vertical: integrar
com condição : Observação útil: essa é a fórmula clássica do movimento vertical de um projétil lançado a partir de altura .
- Velocidade vertical: integrar
Passo 5
Equação da rotação da barra
:
- A barra gira a
voltas por segundo em torno do seu centro de massa. Converter para rad/s: Explicação: uma volta corresponde a radianos. - Como não há torque externo (assunção), a velocidade angular é constante; se a barra começa horizontal, tomamos o ângulo inicial da barra
. Assim: - Observação sobre sinal: aqui
significa rotação no sentido positivo adotado (por exemplo, anti-horário). Se o enunciado quisesse o sentido oposto, usar .
Passo 6
Resumo e comentários finais para você aplicar na prova:
- As equações obtidas são simples e diretas se você lembrar de:
- decompor
em e , - integrar aceleração constante (horizontal nula, vertical
), - converter rotações (rev/s) para rad/s multiplicando por
, - e usar
para rotação sem torque.
- decompor
- Dica de checagem rápida: em
obterá e ; derivando recupera a componente horizontal da velocidade, derivando recupera .