1. Uma barra é lançada como um projétil com velocidade inicial do centro de massa com módulo igual a v_{0}, fazendo um ângulo \theta_{0} com a horizontal. A altura inicial do centro de massa da barra é h e a barra inicia seu movimento totalmente na horizontal. A barra é lançada de modo que ela sai como uma rotação de 5 voltas por segundo em torno do eixo que passa pelo seu centro de massa. Escreva as equações de movimento da posição do centro de massa e do ângulo de rotação da barra.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda):
  • Dados fornecidos:
    • Velocidade inicial do centro de massa: v_{0} (módulo).
    • Direção inicial da velocidade: faz um ângulo \theta_{0} com a horizontal.
    • Altura inicial do centro de massa: h.
    • A barra inicia totalmente na horizontal.
    • A barra tem rotação inicial de 5 voltas por segundo em torno do eixo que passa pelo seu centro de massa.
  • Condições assumidas (necessárias e usuais nesse tipo de problema):
    • Não há resistência do ar; a única força externa é o peso (aceleração da gravidade).
    • Não há torque externo que mude a rotação em torno do centro de massa, logo a velocidade angular em torno do CM é constante.
  • O que o enunciado pede:
    • Escrever as equações de movimento da posição do centro de massa (isto é, x(t) e y(t)).
    • Escrever a equação do ângulo de rotação da barra (digamos \varphi(t)), em função do tempo.

Passo 2

Escolher sistema de referência e decompor a velocidade inicial:
  • Eixo x: horizontal para a direita.
  • Eixo y: vertical para cima.
  • Tomar a origem em x(0)=0 e a posição vertical inicial y(0)=h.
  • Decomposição da velocidade inicial do CM em componentes: v_{0x} = v_{0}\cos\theta_{0},\qquad v_{0y} = v_{0}\sin\theta_{0}.
Explicação didática: decompor uma velocidade num vetor em duas direções perpendiculares é feito com cosseno (componente ao longo da horizontal) e seno (componente ao longo da vertical). A componente horizontal dirige o deslocamento em x; a componente vertical dirige o deslocamento em y.

Passo 3

Equação do movimento horizontal x(t):
  • Como não há força horizontal (ignorar atrito/arrasto), a aceleração na direção x é zero: a_x = 0.
  • Integração: velocidade horizontal é constante v_x(t)=v_{0x}. Integrando para posição com x(0)=0, x(t) = v_{0x}\,t = v_{0}\cos\theta_{0}\,t.
Comentário prático: na prova pode decorar que sem aceleração horizontal o movimento é retilíneo uniforme.

Passo 4

Equação do movimento vertical y(t):
  • A única aceleração vertical é a gravidade para baixo: a_y = -g (com g\approx 9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}).
  • Integração passo a passo:
    • Velocidade vertical: integrar a_y: v_y(t)=v_{0y}-g\,t = v_{0}\sin\theta_{0}-g\,t.Explicação: integrar aceleração dá velocidade; o sinal negativo indica que a gravidade reduz a componente vertical para cima.
    • Posição vertical: integrar v_y(t) com condição y(0)=h: y(t)=h + v_{0}\sin\theta_{0}\,t - \tfrac{1}{2}g\,t^{2}.Observação útil: essa é a fórmula clássica do movimento vertical de um projétil lançado a partir de altura h.

Passo 5

Equação da rotação da barra \varphi(t):
  • A barra gira a 5 voltas por segundo em torno do seu centro de massa. Converter para rad/s: \omega = 5\\ \text{rev/s}\times 2\pi\\ \frac{\text{rad}}{\text{rev}} = 10\pi\\ \text{rad/s}.Explicação: uma volta corresponde a 2\pi radianos.
  • Como não há torque externo (assunção), a velocidade angular é constante; se a barra começa horizontal, tomamos o ângulo inicial da barra \varphi(0)=0. Assim: \varphi(t)=\varphi(0)+\omega t = 0 + (10\pi)\,t = 10\pi\,t.
  • Observação sobre sinal: aqui \omega=+10\pi significa rotação no sentido positivo adotado (por exemplo, anti-horário). Se o enunciado quisesse o sentido oposto, usar \varphi(t)=-10\pi t.

Passo 6

Resumo e comentários finais para você aplicar na prova:
  • As equações obtidas são simples e diretas se você lembrar de:
    • decompor v_0 em v_{0}\cos\theta_{0} e v_{0}\sin\theta_{0},
    • integrar aceleração constante (horizontal nula, vertical -g),
    • converter rotações (rev/s) para rad/s multiplicando por 2\pi,
    • e usar \varphi(t)=\varphi(0)+\omega t para rotação sem torque.
  • Dica de checagem rápida: em t=0 obterá (x,y)=(0,h) e \varphi=0; derivando x(t) recupera a componente horizontal da velocidade, derivando y(t) recupera v_{0}\sin\theta_{0}-g t.

Resposta

x(t)=v_{0}\cos\theta_{0}\,t
y(t)=h+v_{0}\sin\theta_{0}\,t-\tfrac{1}{2}g\,t^{2}
\varphi(t)=10\pi\,t

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