1. Um foguete ejeta gás à taxa R=10,0 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} e velocidade relativa u=3000 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. (a) Qual é o empuxo do foguete? Se o foguete é lançado verticalmente com velocidade inicial nula e massa inicial m_{0}=5000 \mathrm{~kg}, (b) qual é a aceleração inicial do foguete? (c) Qual é a velocidade do foguete 60 s após o lançamento? Despreze a gravidade.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Taxa de ejeção de massa: R=10{,}0\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}.
    • Velocidade relativa do gás (velocidade de saída do jato em relação ao foguete): u=3000\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
    • Massa inicial do foguete: m_{0}=5000\\ \mathrm{kg}.
    • Velocidade inicial do foguete: v(0)=0.
    • Desprezar a gravidade (ou seja, nenhuma força peso agindo).
  • O enunciado pede:
    (a) o empuxo do foguete (força de reação produzida pelo jato);
    (b) a aceleração inicial do foguete (em t=0);
    (c) a velocidade do foguete após 60\\ \mathrm{s} do lançamento.

Passo 2

Entendendo o empuxo (a parte (a)) — conceito e fórmula útil.
Explicação física simples: o empuxo é a força que surge porque o foguete ejeta massa para trás com velocidade relativa u. Pela conservação da quantidade de movimento, cada quilograma de gás ejetado com velocidade relativa u produz uma variação de momento no foguete que corresponde a uma força média igual à taxa de massa ejetada vezes a velocidade de ejeção.
Fórmula (resultado direto que vem da razão momento/tempo):
F_{\text{empuxo}} = R\,u.
Aqui:
  • F_{\text{empuxo}} é o empuxo (em newtons, \mathrm{N});
  • R é a taxa de massa ejetada (em \mathrm{kg}/\mathrm{s});
  • u é a velocidade relativa do jato em relação ao foguete (em \mathrm{m}/\mathrm{s}).
Essa fórmula pode ser lembrada como “massa por segundo vezes velocidade = força” (momento por segundo).

Passo 3

Cálculo numérico do empuxo (a).
Substituindo os dados na fórmula:
F_{\text{empuxo}} = R\,u = 10{,}0\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}\times 3000\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
F_{\text{empuxo}} = 30000\\ \mathrm{N}.
Portanto o empuxo é 30000\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Aceleração inicial (parte (b)) — como calcular e explicação.
Como a gravidade foi desprezada, a única força externa atuando é o empuxo apontando para cima. Pela segunda lei de Newton para um corpo (naquele instante), a aceleração instantânea é a força resultante dividida pela massa instantânea do foguete:
a(t)=\frac{F_{\text{resultante}}(t)}{m(t)}.
No instante inicial t=0 a massa é m_{0} e a força resultante é o empuxo calculado. Assim:
a(0)=\frac{F_{\text{empuxo}}}{m_{0}}.

Passo 5

Cálculo numérico da aceleração inicial.
Substituindo valores:
a(0)=\frac{30000\\ \mathrm{N}}{5000\\ \mathrm{kg}}=6\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}.
Portanto a aceleração inicial do foguete é 6\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}.

Passo 6

Velocidade após 60\\ \mathrm{s} (parte (c)) — derivação do efeito da massa variável.
Quando a massa do foguete varia, a forma correta de obter a velocidade é usar a equação do foguete (equação de Tsiolkovsky), que pode ser derivada por conservação da quantidade de movimento. Vou fazer a derivação curta e didática.
Considere no instante t o foguete com massa m(t) e velocidade v(t). Em um pequeno intervalo \mathrm{d}t o foguete ejeta uma massa \mathrm{d}m_{\text{ejetada}} para trás com velocidade relativa u. A mudança de velocidade do foguete \mathrm{d}v está relacionada por:
m(t)\,\mathrm{d}v = u\,\mathrm{d}m_{\text{ejetada}},
com cuidado de sinais: se \mathrm{d}m for a variação da massa do foguete (portanto \mathrm{d}m<0 porque ele perde massa), então \mathrm{d}m_{\text{ejetada}}=-\mathrm{d}m. Substituindo:
m\,\mathrm{d}v = -u\,\mathrm{d}m.
Separando e integrando entre t=0 (massa m_{0}, velocidade v(0)=0) e tempo t (massa m(t), velocidade v(t)):
\int_{0}^{v(t)} \mathrm{d}v = -u \int_{m_{0}}^{m(t)} \frac{\mathrm{d}m}{m}.
Isso dá a forma conhecida:
v(t)=u\ln\!\left(\frac{m_{0}}{m(t)}\right).
Essa é a equação do foguete (sem gravidade, sem resistência do ar): a velocidade ganha é proporcional a u vezes o logaritmo da razão das massas.

Passo 7

Expressar a massa em função do tempo e aplicar para t=60\\ \mathrm{s}.
A massa do foguete diminui à taxa R, ou seja:
\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t} = -R.
Integrando com condição inicial m(0)=m_{0} resulta em:
m(t)=m_{0}-R\,t.
Portanto, a velocidade em tempo t é:
v(t)=u\ln\!\left(\frac{m_{0}}{m_{0}-R\,t}\right).
Agora avaliamo-la em t=60\\ \mathrm{s}. Primeiro calcule a massa em 60\\ \mathrm{s}:
m(60)=m_{0}-R\cdot 60 = 5000\\ \mathrm{kg} - 10{,}0\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}\times 60\\ \mathrm{s} = 4400\\ \mathrm{kg}.

Passo 8

Cálculo numérico da velocidade em t=60\\ \mathrm{s}.
Substituindo na fórmula:
v(60)=3000\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}\times \ln\!\left(\frac{5000}{4400}\right).
Calcule a razão:
\frac{5000}{4400}=1{,}136363\ldots
O logaritmo natural desta razão é aproximadamente 0{,}127833\ldots Multiplicando por 3000\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}:
v(60)\approx 3000\times 0{,}127833\ldots \approx 383{,}5\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}.
Arredondando de forma prática, v(60)\approx 383{,}5\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}.

Resposta

(a) F_{\text{empuxo}}=30000\\ \mathrm{N}
(b) a(0)=6\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2}
(c) v(60\\ \mathrm{s})\approx 383{,}5\\ \mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}

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