- Um foguete ejeta gás à taxa
e velocidade relativa
. (a) Qual é o empuxo do foguete? Se o foguete é lançado verticalmente com velocidade inicial nula e massa inicial
, (b) qual é a aceleração inicial do foguete? (c) Qual é a velocidade do foguete
após o lançamento? Despreze a gravidade.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Taxa de ejeção de massa:
. - Velocidade relativa do gás (velocidade de saída do jato em relação ao foguete):
. - Massa inicial do foguete:
. - Velocidade inicial do foguete:
. - Desprezar a gravidade (ou seja, nenhuma força peso agindo).
- Taxa de ejeção de massa:
-
O enunciado pede:
(a) o empuxo do foguete (força de reação produzida pelo jato);
(b) a aceleração inicial do foguete (em);
(c) a velocidade do foguete apósdo lançamento.
Passo 2
Entendendo o empuxo (a parte (a)) — conceito e fórmula útil.
Explicação física simples: o empuxo é a força que surge porque o foguete ejeta massa para trás com velocidade relativa
. Pela conservação da quantidade de movimento, cada quilograma de gás ejetado com velocidade relativa
produz uma variação de momento no foguete que corresponde a uma força média igual à taxa de massa ejetada vezes a velocidade de ejeção.
Fórmula (resultado direto que vem da razão momento/tempo):
Aqui:
-
é o empuxo (em newtons, ); -
é a taxa de massa ejetada (em ); -
é a velocidade relativa do jato em relação ao foguete (em ).
Essa fórmula pode ser lembrada como “massa por segundo vezes velocidade = força” (momento por segundo).
Passo 3
Cálculo numérico do empuxo (a).
Substituindo os dados na fórmula:
Portanto o empuxo é
.
Passo 4
Aceleração inicial (parte (b)) — como calcular e explicação.
Como a gravidade foi desprezada, a única força externa atuando é o empuxo apontando para cima. Pela segunda lei de Newton para um corpo (naquele instante), a aceleração instantânea é a força resultante dividida pela massa instantânea do foguete:
No instante inicial
a massa é
e a força resultante é o empuxo calculado. Assim:
Passo 5
Cálculo numérico da aceleração inicial.
Substituindo valores:
Portanto a aceleração inicial do foguete é
.
Passo 6
Velocidade após
(parte (c)) — derivação do efeito da massa variável.
Quando a massa do foguete varia, a forma correta de obter a velocidade é usar a equação do foguete (equação de Tsiolkovsky), que pode ser derivada por conservação da quantidade de movimento. Vou fazer a derivação curta e didática.
Considere no instante
o foguete com massa
e velocidade
. Em um pequeno intervalo
o foguete ejeta uma massa
para trás com velocidade relativa
. A mudança de velocidade do foguete
está relacionada por:
com cuidado de sinais: se
for a variação da massa do foguete (portanto
porque ele perde massa), então
. Substituindo:
Separando e integrando entre
(massa
, velocidade
) e tempo
(massa
, velocidade
):
Isso dá a forma conhecida:
Essa é a equação do foguete (sem gravidade, sem resistência do ar): a velocidade ganha é proporcional a
vezes o logaritmo da razão das massas.
Passo 7
Expressar a massa em função do tempo e aplicar para
.
A massa do foguete diminui à taxa
, ou seja:
Integrando com condição inicial
resulta em:
Portanto, a velocidade em tempo
é:
Agora avaliamo-la em
. Primeiro calcule a massa em
:
Passo 8
Cálculo numérico da velocidade em
.
Substituindo na fórmula:
Calcule a razão:
O logaritmo natural desta razão é aproximadamente
Multiplicando por
:
Arredondando de forma prática,
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)