Um homem está parado no alto de um edifício de
de altura e atira uma pedra com velocidade de módulo de
, formando um ângulo inicial de
acima da horizontal. Despreze a resistência do ar. Calcule (a) a altura máxima acima do telhado atingida pela pedra; (b) o módulo da velocidade da pedra imediatamente antes de ela atingir o solo e © a distância horizontal entre a base do edifício e o ponto onde ela atinge o solo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um homem no topo de um prédio de 20 metros de altura que joga uma pedra com uma velocidade inicial de 20 m/s, formando um ângulo de 30 graus em relação à horizontal. A gente vai usar os conceitos de cinemática de projéteis para resolver isso. Precisaremos das fórmulas de movimento vertical e horizontal, considerando a aceleração da gravidade como
.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial da pedra nas suas componentes horizontal (
) e vertical (
) usando trigonometria.
Sabendo que
e
, temos:
Passo 3
Para encontrar a altura máxima que a pedra alcança acima do telhado, vamos focar apenas no movimento vertical. No ponto mais alto, a velocidade vertical será zero. Usamos a fórmula:
Aqui,
no ponto mais alto, então:
Então, a altura máxima acima do telhado é de aproximadamente 5,10 metros.
Passo 4
Agora, vamos calcular o módulo da velocidade da pedra imediatamente antes de ela atingir o solo. Para isso, precisamos considerar tanto as componentes horizontal quanto vertical da velocidade no momento do impacto.
Primeiro, calculamos o tempo total de voo. Usamos a equação do movimento vertical:
Aqui,
(no solo),
,
, então:
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
A raiz positiva é:
Agora, a velocidade vertical no impacto:
O sinal negativo indica que a direção é para baixo. A componente horizontal permanece constante:
Então, a velocidade total é:
Passo 5
Por fim, vamos determinar a distância horizontal entre a base do edifício e o ponto de impacto. Sabemos que a velocidade horizontal é constante e igual a
, e o tempo total de voo é de aproximadamente
.
Resposta
(a) A altura máxima acima do telhado é de aproximadamente 5,10 metros.
(b) O módulo da velocidade da pedra imediatamente antes de atingir o solo é de aproximadamente 27,89 m/s.
© A distância horizontal entre a base do edifício e o ponto de impacto é de aproximadamente 56,14 metros.