Um homem está parado no alto de um edifício de 20,0 m de altura e atira uma pedra com velocidade de módulo de 20,0 m / s, formando um ângulo inicial de 30,0^circ acima da horizontal. Despreze a resistência do ar. Calcule (a) a altura máxima acima do telhado atingida pela pedra; (b) o módulo da velocidade da pedra imediatamente antes de ela atingir o solo e © a distância horizontal entre a base do edifício e o ponto onde ela atinge o solo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um homem no topo de um prédio de 20 metros de altura que joga uma pedra com uma velocidade inicial de 20 m/s, formando um ângulo de 30 graus em relação à horizontal. A gente vai usar os conceitos de cinemática de projéteis para resolver isso. Precisaremos das fórmulas de movimento vertical e horizontal, considerando a aceleração da gravidade como .

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial da pedra nas suas componentes horizontal ( v0x = v0 cdot cos(theta) = 20 cdot cos(30^circ) ) e vertical ( v0y = v0 cdot sin(theta) = 20 cdot sin(30^circ) ) usando trigonometria.
v0x approx 20 cdot 0,866 = 17,32 , m/s
v0y = 20 cdot 0,5 = 10 , m/s
Sabendo que e , temos:

Passo 3

Para encontrar a altura máxima que a pedra alcança acima do telhado, vamos focar apenas no movimento vertical. No ponto mais alto, a velocidade vertical será zero. Usamos a fórmula:
vy^2 = v0y^2 - 2g cdot hmax
Aqui, 0 = (10)^2 - 2 cdot 9,8 cdot hmax no ponto mais alto, então:
100 = 19,6 cdot hmax
hmax = 10019,6 approx 5,10 , m
Então, a altura máxima acima do telhado é de aproximadamente 5,10 metros.

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo da velocidade da pedra imediatamente antes de ela atingir o solo. Para isso, precisamos considerar tanto as componentes horizontal quanto vertical da velocidade no momento do impacto.
Primeiro, calculamos o tempo total de voo. Usamos a equação do movimento vertical:
y = y0 + v0y cdot t - 12 g t^2
Aqui, 0 = 20 + 10t - 4,9t^2 (no solo), 4,9t^2 - 10t - 20 = 0 , t = 10 pm raiz(-10)^2 - 4 cdot 4,9 cdot (-20)2 cdot 4,9 = 10 pm raiz100 + 3929,8 = 10 pm raiz4929,8 , então:
t approx 10 + 22,189,8 approx 3,25 , s
vy = v0y - g cdot t = 10 - 9,8 cdot 3,25 approx 10 - 31,85 = -21,85 , m/s
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
vx = 17,32 , m/s
A raiz positiva é:
v = raizvx^2 + vy^2 = raiz17,32^2 + (-21,85)^2 approx raiz299,98 + 477,22 approx raiz777,20 approx 27,89 , m/s
Agora, a velocidade vertical no impacto:
O sinal negativo indica que a direção é para baixo. A componente horizontal permanece constante:
Então, a velocidade total é:

Passo 5

Por fim, vamos determinar a distância horizontal entre a base do edifício e o ponto de impacto. Sabemos que a velocidade horizontal é constante e igual a Distância = vx cdot t = 17,32 cdot 3,25 approx 56,14 , m , e o tempo total de voo é de aproximadamente .
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Resposta

(a) A altura máxima acima do telhado é de aproximadamente 5,10 metros.
(b) O módulo da velocidade da pedra imediatamente antes de atingir o solo é de aproximadamente 27,89 m/s.
© A distância horizontal entre a base do edifício e o ponto de impacto é de aproximadamente 56,14 metros.

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