Um homem quer atravessar um rio de 500 m de largura. Sua velocidade de remada (em relação à água) é
. A velocidade da correnteza do rio é de
. A velocidade do homem, caminhando em terra, é de
. (a) Determine a sua trajetória (combinando os movimentos na água e na terra), para que alcance o ponto diretamente oposto ao local de partida, no mais curto espaço de tempo. (b) Quanto tempo levaria para fazê-lo?
Passo 1
O homem quer ir do ponto
de uma margem até o ponto
diretamente oposto, combinando uma remada na água (velocidade relativa à água
, correnteza
, largura do rio
) e uma caminhada em terra (velocidade
). O conteúdo é otimizar o tempo total em função do ângulo
de remada em relação à direção perpendicular à margem.
Passo 2
Definimos
como o ângulo que o homem faz em relação à direção reta através do rio, apontando para montante (para compensar a correnteza).
- Componente da velocidade através do rio (direção
):
- Componente da velocidade ao longo do rio (direção
, positiva para jusante):
Passo 3
O tempo de remada
é a largura dividida por
, e a derivação
de jusante do ponto
até o pouso vale
. Depois ele anda
de volta a montante em tempo
. Assim:
O tempo total é
Passo 4
Para minimizar
, fazemos
. O cálculo leva a
Passo 5
Substituindo
,
,
(em
):
Passo 6
Calculamos agora os tempos:
Logo o tempo total é
Resposta
(a) O homem deve remar apontando
para montante em relação à perpendicular à margem, pousar a cerca de
a jusante do ponto diretamente oposto e então caminhar essa mesma distância de volta.
(b) O tempo mínimo total é aproximadamente , isto é, cerca de
minutos.
(b) O tempo mínimo total é aproximadamente