Um homem quer atravessar um rio de 500 m de largura. Sua velocidade de remada (em relação à água) é 3.000 \mathrm{~m} / \mathrm{h}. A velocidade da correnteza do rio é de 2.000 \mathrm{~m} / \mathrm{h}. A velocidade do homem, caminhando em terra, é de 5.000 \mathrm{~m} / \mathrm{h}. (a) Determine a sua trajetória (combinando os movimentos na água e na terra), para que alcance o ponto diretamente oposto ao local de partida, no mais curto espaço de tempo. (b) Quanto tempo levaria para fazê-lo?

Passo 1

O homem quer ir do ponto A de uma margem até o ponto B diretamente oposto, combinando uma remada na água (velocidade relativa à água v_r=3000\,\mathrm{m/h}, correnteza v_c=2000\,\mathrm{m/h}, largura do rio W=500\,\mathrm{m}) e uma caminhada em terra (velocidade v_w=5000\,\mathrm{m/h}). O conteúdo é otimizar o tempo total em função do ângulo \varphi de remada em relação à direção perpendicular à margem.

Passo 2

Definimos \varphi como o ângulo que o homem faz em relação à direção reta através do rio, apontando para montante (para compensar a correnteza).
  • Componente da velocidade através do rio (direção y):
v_y = v_r\cos\varphi.
  • Componente da velocidade ao longo do rio (direção x, positiva para jusante):
v_x = v_c - v_r\sin\varphi.

Passo 3

O tempo de remada t_{\rm água}á é a largura dividida por v_y, e a derivação x de jusante do ponto A até o pouso vale x = t_{\rm água}\,v_xá. Depois ele anda x de volta a montante em tempo t_{\rm terra}=x/v_w. Assim:
t_{\rm água} = \frac{W}{v_r\cos\varphi},á
x = \frac{W}{v_r\cos\varphi}\,\bigl(v_c - v_r\sin\varphi\bigr),
t_{\rm terra} = \frac{x}{v_w} = \frac{W}{v_r\cos\varphi}\,\frac{v_c - v_r\sin\varphi}{v_w}.
O tempo total é
T(\varphi) = \frac{W}{v_r\cos\varphi} \;+\; \frac{W}{v_r\cos\varphi}\,\frac{v_c - v_r\sin\varphi}{v_w}.

Passo 4

Para minimizar T(\varphi), fazemos \frac{dT}{d\varphi}=0. O cálculo leva a
\sin\varphi = \frac{v_r}{v_c + v_w}.

Passo 5

Substituindo v_r=3000, v_c=2000, v_w=5000 (em \mathrm{m/h}):
\sin\varphi = \frac{3000}{2000 + 5000} = \frac{3000}{7000} = \frac{3}{7},
\varphi = \arcsin\!\bigl(\tfrac{3}{7}\bigr)\approx25{,}4^\circ.

Passo 6

Calculamos agora os tempos:
t_{\rm água} = \frac{500}{3000\cos(25{,}4^\circ)} \approx0{,}1845\\ \mathrm{h} \quad(\approx11{,}07\\ \mathrm{min}),á
v_x = 2000 - 3000\sin(25{,}4^\circ) = 2000 - 3000\cdot\frac{3}{7} = 2000 - 1285{,}7 \approx714{,}3\\ \mathrm{m/h},
x = t_{\rm água}\,v_x \approx0{,}1845\cdot714{,}3\approx131{,}8\\ \mathrm{m},á
t_{\rm terra} = \frac{131{,}8}{5000}\approx0{,}02636\\ \mathrm{h} \quad(\approx1{,}58\\ \mathrm{min}).
Logo o tempo total é
T = t_{\rm água} + t_{\rm terra} \approx0{,}1845 + 0{,}02636 = 0{,}2109\\ \mathrm{h} \approx12{,}65\\ \mathrm{min}.á

Resposta

(a) O homem deve remar apontando 25{,}4^\circ para montante em relação à perpendicular à margem, pousar a cerca de 131{,}8\\ \mathrm{m} a jusante do ponto diretamente oposto e então caminhar essa mesma distância de volta.
(b) O tempo mínimo total é aproximadamente 0{,}2109\\ \mathrm{h}, isto é, cerca de 12,65 minutos.

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