A polícia americana usa um aeroplano para fazer respeitar o limite de velocidade numa rodovia estadual. Suponha que um de seus aeroplanos tenha uma velocidade de vôo de 250 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Ele está voando em direção ao norte, de forma que fique lado a lado com a rodovia norte-sul. Um observador, no solo, informa ao piloto que o vento está soprando a 130,0 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, mas se esquece de informar a direção. O piloto observa que, apesar do vento, o avião pode voar 250 km ao longo da rodovia, durante 1,00 \mathrm{~h}.
Em outras palavras, a velocidade em relação ao solo é constante, havendo ou não vento. (a) Qual a direção do vento? (b) Qual a direção do avião, isto é, o ângulo entre seu eixo longitudinal e a rodovia?

Passo 1

O enunciado diz que o avião tem velocidade relativa ao ar de \,250\\ \mathrm{km/h} e voa “lado a lado” com a rodovia norte–sul, cobrindo 250\\ \mathrm{km} ao longo da rodovia em 1\\ \mathrm{h}. Ou seja, a velocidade sobre o solo tem direção norte e módulo 250\\ \mathrm{km/h}. Há um vento de módulo 130\\ \mathrm{km/h} e direção desconhecida. O que precisamos usar é a adição vetorial
\vec v_{\text{solo}} \;=\;\vec v_{\text{ar}}+\vec v_{\text{vento}}
e a condição \bigl|\vec v_{\text{ar}}\bigr|=250, \bigl|\vec v_{\text{vento}}\bigr|=130, \vec v_{\text{solo}}=(0,250).

Passo 2

Escolho eixos: eixo y aponta para norte e eixo x para leste. Se o avião aponta um ângulo \theta a leste de norte, sua velocidade relativa ao ar é
\vec v_{\text{ar}} = 250\bigl(\cos\theta\,\hat\jmath + \sin\theta\,\hat\imath\bigr).
Como o solo vê \vec v_{\text{solo}}=(0,250), a velocidade do vento fica
\vec v_{\text{vento}} =\vec v_{\text{solo}}-\vec v_{\text{ar}} =\bigl(-250\sin\theta\,\hat\imath + (250-250\cos\theta)\,\hat\jmath\bigr).

Passo 3

Impondo o módulo do vento igual a 130, temos
\bigl|\vec v_{\text{vento}}\bigr| =\sqrt{(-250\sin\theta)^2+(250-250\cos\theta)^2} =130.
Fatorando 250 e usando \sin^2\theta+(1-\cos\theta)^2=2(1-\cos\theta), vem
250\sqrt{2(1-\cos\theta)}=130 \;\Longrightarrow\; 2(1-\cos\theta)=\Bigl(\tfrac{130}{250}\Bigr)^2=0,2704 \;\Longrightarrow\; \cos\theta=1-0,1352=0,8648.

Passo 4

Logo \theta=\operatorname{arccos}(0,8648)\approx30,0^\circ. Isso significa que o avião aponta 30,0^\circ a leste de norte para manter o solo em direção exatamente norte.

Passo 5

Para saber a direção do vento, entra com \theta em \vec v_{\text{vento}}:
componente norte =250(1-\cos\theta)=250\cdot0,1352\approx33,8,
componente leste =-250\sin\theta\approx-250\cdot0,502=-125,5.
Ou seja, \vec v_{\text{vento}} aponta para noroeste. Seu ângulo em relação ao norte é
\alpha=\arctan\!\Bigl(\tfrac{125,5}{33,8}\Bigr)\approx75,0^\circ
medido em direção ao oeste.

Resposta

(a) O vento sopra na direção noroeste, formando cerca de 75,0^\circ para oeste de norte.
(b) O avião aponta 30,0^\circ para leste de norte.

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