Um homem quer atravessar um rio de 700 m de largura. O barco, no qual ele rema, possui velocidade em relação à água igual a 4 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. A velocidade da correnteza é de 2 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Quando o homem caminha na terra firme sua velocidade é de 4,8 \mathrm{~km} / \mathrm{h}. Ao atravessar o rio a remo ele atinge um ponto a jusante do local inicial; a seguir ele retorna a pé até o ponto oposto ao ponto onde ele se encontrava na outra margem do rio. (a) Determine a trajetória combinada (entre atravessar o rio e andar) para que o tempo de percurso seja mínimo (para atingir o ponto considerado). (b) Calcule o valor deste tempo mínimo.

Passo 1

O enunciado diz que o homem quer atravessar um rio de largura 0,7 km remando com velocidade relativa à água v_r=4 km/h, enquanto a correnteza tem v_c=2 km/h. Ao tocar a outra margem, ele caminha de volta sobre terra com v_p=4{,}8 km/h até o ponto diretamente oposto ao ponto de partida. Precisamos escolher a direção de remada para minimizar
T(\theta)=T_{\rm remo}+T_{\rm pé},é
onde \theta é o ângulo entre a direção do remo e a direção perpendicular à margem, medido no sentido upstream (ângulo positivo = a mando contra a corrente).

Passo 2

Componentes da velocidade do barco em relação ao solo:
– componente perpendicular à margem (cruzando o rio):
v_{y}=v_r\cos\theta,
– componente ao longo da margem (sentido downstream positivo):
v_{x}=v_c+v_r\sin\theta.
O tempo de remo até a outra margem é
T_{\rm remo} =\frac{\text{largura}}{v_{y}} =\frac{0,7}{4\cos\theta}.
A deriva lateral ao longo da margem é
d=(v_c+v_r\sin\theta)\,T_{\rm remo} =\frac{(2+4\sin\theta)\,0,7}{4\cos\theta}.

Passo 3

Para voltar ao ponto oposto, ele precisa caminhar a distância \lvert d\rvert com velocidade v_p, de modo que
T_{\rm pé}=\frac{\lvert d\rvert}{4{,}8}.é
Logo o tempo total é
T(\theta) =\frac{0,7}{4\cos\theta} +\frac{1}{4{,}8}\, \frac{(2+4\sin\theta)\,0,7}{4\cos\theta}.

Passo 4

Para minimizar T(\theta), notamos que se fizermos (2+4\sin\theta)=0 então d=0 e T_{\rm pé}=0é. A condição
2+4\sin\theta=0 \quad\Longrightarrow\quad \sin\theta=-\frac{2}{4}=-\tfrac12
corresponde a apontar o remo upstream de modo que a componente horizontal do remo cancele exatamente a correnteza. Em módulo, o ângulo entre a direção de remada e a perpendicular é
\theta=30^\circ
voltado para montante, de forma que o barco vá em linha reta perpendicular à margem e não haja caminhada.

Passo 5

Nesse caso ótimo, o único tempo é o de remo sem deriva:
T_{\min} =\frac{0,7}{v_r\cos 30^\circ} =\frac{0,7}{4\cdot\frac{\sqrt3}{2}} =\frac{0,7}{2\sqrt3} =\frac{0,7}{2\,1{,}732} \approx0,2021\\ \text{h}
que em minutos é
0,2021\times60\approx12,13\\ \text{min}.

Resposta

O tempo mínimo é obtido apontando o remo 30^\circ a montante em relação à perpendicular, de modo a anular a correnteza e não exigir caminhada.
O tempo mínimo vale aproximadamente 0,2021 h, isto é, cerca de 12,13 min.

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