Um homem quer atravessar um rio de 700 m de largura. O barco, no qual ele rema, possui velocidade em relação à água igual a
. A velocidade da correnteza é de
. Quando o homem caminha na terra firme sua velocidade é de
. Ao atravessar o rio a remo ele atinge um ponto a jusante do local inicial; a seguir ele retorna a pé até o ponto oposto ao ponto onde ele se encontrava na outra margem do rio. (a) Determine a trajetória combinada (entre atravessar o rio e andar) para que o tempo de percurso seja mínimo (para atingir o ponto considerado). (b) Calcule o valor deste tempo mínimo.
Passo 1
O enunciado diz que o homem quer atravessar um rio de largura
km remando com velocidade relativa à água
km/h, enquanto a correnteza tem
km/h. Ao tocar a outra margem, ele caminha de volta sobre terra com
km/h até o ponto diretamente oposto ao ponto de partida. Precisamos escolher a direção de remada para minimizar
onde
é o ângulo entre a direção do remo e a direção perpendicular à margem, medido no sentido upstream (ângulo positivo = a mando contra a corrente).
Passo 2
Componentes da velocidade do barco em relação ao solo:
– componente perpendicular à margem (cruzando o rio):
– componente perpendicular à margem (cruzando o rio):
– componente ao longo da margem (sentido downstream positivo):
O tempo de remo até a outra margem é
A deriva lateral ao longo da margem é
Passo 3
Para voltar ao ponto oposto, ele precisa caminhar a distância
com velocidade
, de modo que
Logo o tempo total é
Passo 4
Para minimizar
, notamos que se fizermos
então
e
. A condição
corresponde a apontar o remo upstream de modo que a componente horizontal do remo cancele exatamente a correnteza. Em módulo, o ângulo entre a direção de remada e a perpendicular é
voltado para montante, de forma que o barco vá em linha reta perpendicular à margem e não haja caminhada.
Passo 5
Nesse caso ótimo, o único tempo é o de remo sem deriva:
que em minutos é
Resposta
O tempo mínimo é obtido apontando o remo
a montante em relação à perpendicular, de modo a anular a correnteza e não exigir caminhada.
O tempo mínimo vale aproximadamente h, isto é, cerca de
min.
O tempo mínimo vale aproximadamente